吴恩达机器学习：异常检测与协同过滤

这是吴恩达机器学习的最后一课，这次学习的内容是机器学习的常见应用，异常检测与协同过滤。课程中介绍的异常检测主要基于 正态分布，用于检测出偏离正常值的数据。而协同过滤是 推荐系统 的一部分，利用已有用户的评分来给你推荐商品、视频等。

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以下是 Ng 机器学习课程第八周的笔记。

异常检测

通常使用异常检测的情况是在一个含有正常和异常的数据集中，异常样本数目远小于正常样本数目，使得无法从异常数据中提取有效的特征。于是只能通过学习正常数据的分布来识别异常数据。具体来说，我们通过数据学习一个概率模型 $p(x)$，并通过一个阈值 $ϵ$ 来判断数据是否异常。从直观上来理解正常数据虽然由于误差等原因有所偏离，但基本都还在一个区域范围内，而异常数据则会离这个区域比较远（ 如下图，红圈里的可以看做异常值 ）。

算法

在异常检测中，假设特征是相互独立的而且服从正态分布 $x_j\sim N({\mu }_j,{\delta }_j^2)$，所以：
$$p(x)=\prod _{j=1}^{n}p(x_j;{\mu }_j,{\delta }_j^2)=\prod _{j=1}^n\frac{1}{\sqrt{2\pi }{\delta }_j}{e}^{-\frac{(x_j-{\mu }_j{)}^2}{2{\delta }_j^2}}$$
然后我们只要通过数据计算 ${\mu }_i$ 和 ${\delta }_i$ 就可以得到 $p(x)$ 了，于是有如下算法：

1. 选择有助于区分异常数据的特征 $x_i$
2. 分别计算 ${\mu }_1,...,{\mu }_n,{\delta }_1^2,...,{\delta }_n^2$：
   KaTeX parse error: No such environment: align* at position 9: begin{̲a̲l̲i̲g̲n̲*̲}̲ mu_j &= frac…
3. 对于需要检测异常的数据 $x$ 计算 $p(x)$，如果 $p(x)<ϵ$ 则判断为异常。

算法在特征比较多时计算效率比较高，而且在通常情况下即使特征不独立也能够得到比较好的结果。如果特征比较少并且特征之间又相互关联的情况，这时候我们可以使用 多元正态分布 来作为模型，此时 $p(x)$ 为：
$$p(x)=\frac{1}{\sqrt{(2\pi {)}^k|\Sigma |}}{e}^{-\frac{1}{2}(x-\mu {)}^T{\Sigma }^{-1}(x-\mu )}$$
式中的 $\Sigma$ 为 协方差矩阵，在之前的课程笔记中有提到。

$ϵ$ 选择

由于我们的数据有 偏斜类 的问题，所以需要用 查准率 和 召回率 的结合 $F_1$ 指数来评价模型，并选取 $F_1$ 取最大时对应的 $ϵ$ 作为阈值。

协同过滤

假设我们有 $n_m$ 部影片，并且有 $n_u$ 位用户对于其中一些影片的评价 $y^{(i,j)}$，。

其中用户对有些影片没有打分，我们希望能够估计这些评分并推荐高分的内容给用户。用户 $j$ 有没有给 $i$ 电影评分记为 $R(i,j)$。假设每部电影具有特征向量 $x^{(i)}$，对于用户 $(1)$，我们像 线性回归 中那样学习一个 $h_{\theta }(x)={\theta }_0^{(1)}+{\theta }_1^{(1)}{x}_1+{\theta }_2^{(1)}{x}_2+\cdots +{\theta }_n^{(1)}{x}_n$ 来获取用户没有打分的评分。可以看出对于所有用户，评分表可以表示为电影特征矩阵和用户参数矩阵的乘积：
$$X=\left[\begin{array}{c}—(x^{(1)}{)}^T—\\ —(x^{(2)}{)}^T—\\ ⋮\\ —(x^{(n_m)}{)}^T—\end{array}\right],\Theta =\left[\begin{array}{c}—({\theta }^{(1)}{)}^T—\\ —({\theta }^{(2)}{)}^T—\\ ⋮\\ —({\theta }^{(n_u)}{)}^T—\end{array}\right]$$
预测的评分 $Predicated=X{\Theta }^T$，值得注意的是 $X,\Theta$ 都是未知的，它们都是需要学习的变量。

代价函数

确定了学习模型，下一步就是要设定 代价函数。这次的 代价函数 和之前基本相同，不同的是在计算梯度的时候 $X,\Theta$ 都需要求。下面直接给出 代价函数：

$$\begin{array}{lll}J(x^{(1)},...,x^{(n_m)},{\theta }^{(1)},...,{\theta }^{(n_u)})& =& \frac{1}{2}{\sum }_{(i,j):r(i,j)=1}{\left(({\theta }^{(j)}{)}^T{x}^{(i)}-y^{(i,j)}\right)}^2\\ & +& \frac{\lambda }{2}{\sum }_{i=1}^{n_m}{\sum }_{k=1}^n(x_k^{(i)}{)}^2\\ & +& \frac{\lambda }{2}{\sum }_{j=1}^{n_u}{\sum }_{k=1}^n({\theta }_k^{(j)}{)}^2\end{array}$$
通过简单的求导可以得到梯度公式：
$$\begin{gathered} \frac{\partial J}{\partial x_k^{(i)}}=\sum _{j:r(i,j)=1}(({\theta }^{(j)}{)}^T{x}^{(i)}-y^{(i,j)}){\theta }_k^{(j)}+\lambda x_k^{(i)} \\ \frac{\partial J}{\partial {\theta }_k^{(j)}}=\sum _{i:r(i,j)=1}(({\theta }^{(j)}{)}^T{x}^{(i)}-y^{(i,j)})x_k^{(i)}+\lambda {\theta }_k^{(j)} \end{gathered}$$
和之前的学习算法相同，我们只需要实现 代价函数 的部分并计算梯度值，调用 minimize 函数来获取最优解就可以了。有了 $X,\Theta$ 的值，我们就能够得到预测的评分，通过评分高低就能够进行推荐啦。

课程总结

吴恩达机器学习课程作为对机器学习基本的了解还是不错的。但是课程的内容比较老，像 深度学习、强化学习 等内容都没有涉及，缺乏概率方面的视角，工程方面也只是提了一点点，这些也正是今后需要继续学习的内容。
当驶向 机器学习之海 的时候，感觉心中有一个方向很重要，即便它有多么的不切实际。

So~，第八周的内容就是这些了，谢谢大家耐心阅读。

最后

以上就是搞怪钢铁侠为你收集整理的吴恩达机器学习：异常检测与协同过滤的全部内容，希望文章能够帮你解决吴恩达机器学习：异常检测与协同过滤所遇到的程序开发问题。

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