1.3 时域离散系统

序列与δ(n)卷积，其结果是本身，与δ(n-n0)卷积，结果为原信号的时延。

数字信号处理P12 是卷积的具体推导：

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离散系统的输入为x(n)  系统输出为 y(n)  设经过的运算关系为 T[.]  表示

则输入和输出可以表示为    y(n) = T[ x(n) ]  在时域离散系统里面，最常用的是线性时不变系统。

1. 线性系统：输入和输出满足线性叠加原理的系统称为 线性系统，

线性叠加原理分为   可加性   和 齐次性，   可加性即输入做和，输出也做和 齐次性是输入翻倍，输出也翻倍

例子：y(n) = ax(n)+b 不是线性系统 是否可以得到有直流分量的不是线性系统--P11？

例子中证明了y(n)= x(n)sin(w0n+pi/4) 所代表的是线性系统

2. 时不变系统：系统对输入信号的作用效果不随输入的时间变化，则称为时不变.(输入延时T，则输出也延时T)

3. 线性时不变系统简称LTI，

系统的初始状态为0，输入信号为 δ(n) 时的系统响应称为 该系统的 单位脉冲响应，用 h(n)表示，

换句话说，单位脉冲响应 h(n) 就是系统对δ(n)的零状态响应    h(n) = T[δ(n)]

h(n)和模拟系统中的单位冲激响应类似，都代表系统的时域特征。

离散LTI系统的输出与单位脉冲响应的关系详见 附加目录。总结 y(n) =  ∑x(m) h(n-m) = x(n) * h(n)

即离散LTI系统的输出等于输入 与  单位脉冲响应的  卷积

4. 计算卷积有三种方法：无论那种方法，都有几步：翻转，移位，相乘 相加  称为序列的线性卷积。

1） 图解法： 将h(n)用h(m)表示，翻转得到h(-m) 将h(-m)移动n，得到h(n-m) （注意-m的移动与m的移动不同n>0 右移）

2） 将x(n) 与 h(n-m) 相乘后相加，得到y(n)的一个值。对所有的n重复计算，即可。

序列的线性卷积，两个序列分别长度为N，M，则卷积结果的长度为 N+M-1 

做表法比较简单，解析法介绍如下：详见P12，另有推导过程。

matlab提供的conv函数只能计算从零开始的序列，其扩展详见P15。

5. 线性卷积符合交换律 结合律 分配率

解析法是通过确定不同的区间，进而直接确定卷积结果 != 0的区间，将不等于0的卷积用表达式表示出来

级联系统的单位脉冲响应是各个子系统的h(t)的卷积，

并联系统的单位脉冲响应是各个子系统的h(t)的求和

注意上述所有的结论基于LTI系统，不是线性或者时不变的系统不满足上述定理。

x(n) = ∑x(m)δ(n-m) = x(n)*δ(n): 序列x(n)与单位脉冲序列的线性卷积 == 序列本身 x(n)。

如果序列与一个位移的δ(n-n0)卷积,就相当于序列本身位移n0, 如下式表示

y(n) = x(n)*δ(n-n0) = ∑x(m)δ(n-n0-m) = x(n-n0)

6. 系统的因果性和稳定性

如果系统n时刻的输出只与n时刻及n时刻以前的输入有关，和n时刻后的输入无关，则称为因果系统

非因果在物理上无法实现，所以因果是指系统的可实现性。LTI系统为因果系统的充分必要条件是h(n) = 0 (n<0)。

满足上式的称为因果序列，

理解比较容易：δ(n)的作用时刻是n=0,在n<0的时候没有输入，所以h(n)=0   n<0

稳定性是指对于有界的输入，产生的响应也是有界的，系统稳定的充分必要条件是系统的单位脉冲响应绝对可和。

即∑|h(n)| < ∞   即单位脉冲响应的绝对值做和有界。

系统稳定的条件是 |h(n)| 即 h(n)的模值随着n的加大而减小，此时序列h(n)称为收敛序列，

如果系统不稳定，h(n)的模随n的变大而变大，称为发散序列

总结：可以通过判断系统的脉冲响应h(n)是否绝对可和的条件来判断系统是否稳定。

如何选定测试信号：可以证明，只需要用单位阶跃信号作为输入信号，如果稳态响应趋于0 则系统稳定，

不必要对所有的输入信号进行遍历。

最后

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