UA PHYS515A 电磁学II 静电学问题8 球坐标系中的Laplace方程与球谐函数

球坐标下的Laplace方程为

$$\begin{gathered} {\nabla }^2\Phi (r,\theta ,\varphi )=\frac{1}{r}\frac{{\partial }^2}{\partial r^2}(r\Phi )+\frac{1}{r^2\sin \theta }\frac{\partial }{\partial \theta }(\sin \theta \frac{\partial \Phi }{\partial \theta }) \\ +\frac{1}{r^2{\sin }^2\theta }\frac{{\partial }^2\Phi }{\partial {\varphi }^2}=0 \end{gathered}$$

假设可分离变量，
$$\Phi (r,\theta ,\varphi )=\frac{U(r)}{r}P(\theta )Q(\varphi )$$

将这个表达式代入Laplace方程并引入比例常数$m$，使得
$$m^2=-\frac{Q^{\prime \prime }}{Q}=r^2{\sin }^2\theta [\frac{U^{\prime \prime }}{U}+\frac{(P^{\prime }\sin \theta {)}^{\prime }}{r^{2}P\sin \theta }]$$

第一个等号的解系为 { e ± i m ϕ } {e^{pm i m phi}} {e±imϕ}，引入第二个比例常数$\lambda$来处理第二个等号，
$$r^2\frac{U^{\prime \prime }}{U}=\lambda =-\frac{1}{P\sin \theta }(P^{\prime }\sin \theta {)}^{\prime }-\frac{m^2}{{\sin }^2\theta }$$

第二个等号可以做一个换元，$x=\cos \theta$，则
$$[(1-x^2)P^{\prime }{]}^{\prime }+(\lambda -\frac{m^2}{1-x^2})P=0$$

如果$m=0$，这个方程的解就是Legendre多项式：
$$\begin{gathered} P_0(x)=1 \\ {P}_1(x)=x \\ {P}_2(x)=\frac{3x^2-1}{2} \\ \cdots \end{gathered}$$

当$m\ne 0$时，考虑$m=-l,-(l-1),\cdots ,0,\cdots ,(l-1),l$，方程的解为
$$P_l^m(x)=(-1{)}^m(1-x^2{)}^{m/2}{P}_l^{(m)}(x)$$

{ P l m e ± i m ϕ } {P_l^me^{pm imphi}} {Plm​e±imϕ}是一个完备的函数系，称这个函数系为球谐函数，记为${\mathcal{Y}}_{lm}(\theta ,\varphi )$，
$${\mathcal{Y}}_{lm}(\theta ,\varphi )=\sqrt{\frac{2l+1}{4\pi }\frac{(l-m)!}{(l+m)!}}{P}_l^m(\cos \theta )e^{im\varphi }$$

最后考虑
$$U^{\prime \prime }-\lambda U/r=0,\lambda =l(l+1)$$

它的解为
$$U=A{r}^{l+1}+B{r}^{-l}$$

最后我们可以写出球坐标下电势的通解：
$$\Phi (r,\theta ,\varphi )=\frac{1}{r}\sum _{l,m}[A_{l,m}{r}^{l+1}+B_{l,m}{r}^l]{\mathcal{Y}}_{l,m}(\theta ,\varphi )$$

最后

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