一、理论基础

1、基本灰狼优化算法(GWO)

请参考这里。

2、改进灰狼优化算法(CGWO)

（1）引入混沌策略反向学习初始化种群

从种群多样性和灰狼个体位置的遍历性的角度出发，本文提出的反向学习初始化方法引入了$\text{Logistic}$映射策略，具体实施步骤如下：
步骤1：根据式(1)$\text{Logistic}$混沌映射的表达式生成$N$个初始解$x_i$。$$x_{i+1}=\mu x_i(1-x_i)x_i\in (0,1)\text{\hspace{1em}(1)}$$其中，$\mu \in (2,4]$为混沌参数；$\mu$越大混沌性越高。
步骤2：将$N$个初始解$x_i$按式(2)生成相对应的$N$个反向初始解$x_i^{\prime }$。$$x_i^{\prime }=r(ub(i)+lb(i))-x_i\text{\hspace{1em}(2)}$$其中，$r$为$[0,1]$间的随机数；$ub(i)$和$lb(i)$为$x_i$取值的上下界。
步骤3：将上述两步生成的$2N$个初始解按其适应度值从小到大进行排序，选择前$N$个作为灰狼的初始种群。

（2）改进非线性收敛因子

采用非线性方式能够更加有效平衡全局和局部搜索能力，从而提高算法收敛精度。因此，本文提出一种改进型收敛因子非线性函数形式：$$a=2-2[(e^{t/t_{max}}-1)/(e-1){]}^k\text{\hspace{1em}(3)}$$其中，$k$为非线性调节系数。改进的迭代方法在寻优前段$a$低衰减程度，能够更好寻优全局最优解；寻优后段$a$高衰减程度，能够更精确寻找局部最优解。

（3）Cauchy变异算子

考虑到在算法初期，最优位置应获得足够的扰动以增强算法的搜索能力，而在迭代后期减小变异率可以避免最优解的动荡，从而加快收敛速度，因此，本文提出的改进变异策略见公式(4)：$$x_{ik}^{\prime }=x_{ik}(1+a^{2}C(0,1))\text{\hspace{1em}(4)}$$其中，$x_{ik}$为待变异元素；$a$为改进后的非线性收敛因子。收敛前阶段$a>1$时，能够增强变异扰动，收敛后阶段$a<1$时，减小变异扰动，具有自适应的作用；$C(0,1)$为以0为中心，尺度参数为1的分布的随机数。
随机选取其中一维变异的具体实现方法为：当前代最优灰狼在$D$维空间中的位置为 x i = { x i 1 , x i 2 , ⋯   , x i D } x_i={x_{i1},x_{i2},cdots,x_{iD}} xi​={xi1​,xi2​,⋯,xiD​}，以$1/D$的概率随机选取其中一个元素$x_{ik}$进行Cauchy变异，计算变异后位置向量$x_i^{\prime }$的适应度值，与$x_i$的适应度值进行比较，取适应度值小的为最优位置并更新其适应度值。

二、算法实现步骤

步骤1：初始化种群规模$N$，最大迭代次数$t_{max}$，搜索维数$D$，搜索范围$[lb,ub]$，控制系数$k$。
步骤2：利用引入$\text{Logistic}$混沌映射策略的反向学习方法初始化灰狼种群。
步骤3：根据式(3)更新收敛因子$a$，计算群体中每个个体的适应度值并排序，对其中最优个体进行Cauchy变异，选出$\alpha$、$\beta$和$\delta$狼。
步骤4：根据相应公式计算出$C$和$A$。
步骤5：根据相应公式更新灰狼个体位置，并确定猎物的位置。
步骤6：跳至步骤3直到计算达到最大迭代次数。
步骤7：输出$\alpha$狼的位置，也就是寻优得到的全局最优解。

三、仿真实验与分析

系数$k$的取值影响非线性收敛因子$a$，进而影响改进算法的性能。通过改变非线性调节系数 k = { 1 , 1.25 , 1.5 , 1.75 , 2 } k={1,1.25,1.5,1.75,2} k={1,1.25,1.5,1.75,2}五组不同取值进行数值实验，从稳定性方面分析调节系数$k$对CGWO算法性能的影响。
参数设置：种群规模$N=70$，最大迭代次数$t_{max}=500$，独立运行30次。以F3为例。
$k=1$时的最大值、最小值、平均值及标准差为：

k=1
CGWO：最大值: 1.9788e-12,最小值:1.0312e-15,平均值:1.4892e-13,标准差:3.7775e-13

$k=1.25$时的最大值、最小值、平均值及标准差为：

k=1.25
CGWO：最大值: 1.4261e-13,最小值:4.1941e-18,平均值:1.4483e-14,标准差:2.9773e-14

$k=1.5$时的最大值、最小值、平均值及标准差为：

k=1.5
CGWO：最大值: 3.3684e-14,最小值:2.5503e-17,平均值:7.4339e-15,标准差:1.0077e-14

$k=1.75$时的最大值、最小值、平均值及标准差为：

k=1.75
CGWO：最大值: 6.2523e-14,最小值:1.157e-17,平均值:6.7363e-15,标准差:1.3215e-14

$k=2$时的最大值、最小值、平均值及标准差为：

k=2
CGWO：最大值: 7.2156e-14,最小值:3.1809e-17,平均值:4.5632e-15,标准差:1.2155e-14

综合分析，$k=2$时性能最佳。

四、参考文献

[1] 谈发明, 赵俊杰, 王琪. 一种改进非线性收敛方式的灰狼优化算法研究[J]. 微电子学与计算机, 2019, 36(5): 89-95.

最后

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