算法导论 — 思考题 7-1 Hoare划分的正确性

（Hoare划分的正确性）本章中的PARTITION算法并不是其最初的版本。下面给出的是最早由C. R. Hoare所设计的划分算法：
　　
　　a. 试说明HOARE-PARTITION在数组A = {13, 19, 9, 5, 12, 8, 7, 4, 11, 2, 6, 21}上的操作过程，并说明在每一次执行第4~14行while循环时数组元素的值和辅助变量的值。
　　后续的三个问题要求读者仔细论证HOARE-PARTITION的正确性。在这里假设子数组$A[p..r]$至少包含2个元素，试证明下列问题：
　　b. 下标$i$和$j$可以使我们不会访问在子数组$A[p..r]$以外的数组$A$的元素。
　　c. 当HOARE-PARTITION结束时，它返回的值$j$满足$p\le j<r$。
　　d. 当HOARE-PARTITION结束时，$A[p..j]$中的每一个元素都小于或等于$A[j+1..r]$中的元素。
　　在7.1节的PARTITION过程中，主元（原来存储在$A[r]$中）是与它所划分的两个分区分离的。与之对应，在HOARE-PARTITION中，主元（原来存储在$A[p]$中）是存在于分区$A[p..j]$或$A[j+1..r]$中的。因为有$p\le j<r$，所以这一划分总是非平凡的。
　　e. 利用HOARE-PARTITION，重写QUICKSORT算法。
　　
　　解
　　a.
　　
　　
　　b.
　　虽然下标$i$和$j$分别被初始化为$p-1$和$r+1$，但是在第一轮while迭代中，$i$会被先加1，而$j$会被先减1，这样下标$i$和$j$分别从$p$和$r$开始。所以在迭代开始，下标$i$和$j$没有超出数组范围。
　　由于以首个元素作为划分主元，所以在第一轮while迭代中，$i$会停留在$p$，而$j$会一直向左移动，直到遇到一个小于或等于$x$的元素。下面分两种情况说明：
　　1) 如果$j$在向左移动的过程中一直没有遇到小于或等于$x$的元素，那么$j$会一直向左移动直到$j=p$为止，因为$A[p]=x$满足$j$的停止条件。此时，由于$i$一直停留在$p$的位置，所以$i=j$，故while迭代退出。在这个过程中，$i$和$j$都没有超出数组$A[p..r]$的范围。
　　2) 如果$j$遇到了一个小于或等于$x$的元素 (该元素不为$A[p]$)，那么$A[j]$与$A[i]$ ($A[i]$即$A[p]$) 交换。这说明在下标$j$的左侧至少有一个小于或等于$x$的元素，并且在下标$i$的右侧至少有一个大于或等于$x$的元素，这可保证$i$和$j$在移动过程中不会超出数组范围。
　　
　　c.
　　在第一轮while迭代中，下标$i$一定会停留在$p$，而下标$j$分2种情况：
　　1) 如果$j$在$r$位置停留下来了，此时有$i<j$ (因为已经假设数组元素不少于2个)，那么交换$A[i]$和$A[j]$，继续进行第二轮while迭代。在第二轮while迭代中，$j$一定至少向左移动一个位置，故一定有$j<r$。
　　2) 如果$j$没有在$r$位置停留，而是继续向左移动，此时也有$j<r$。
　　再根据b的结论，$j$不会超出数组范围，故$j\ge p$。所以$j$一定满足$p\le j<r$。
　　
　　d.
　　先给出循环不变式：在每轮while迭代开始之前，$A[p..i]$中的元素都小于或等于$x$，并且$A[j..r]$中的元素都大于或等于$x$。这个循环不变式应该不难证明，这里省略证明过程。
　　下面分析while迭代的终结时的情况。在while迭代中，代码第5 ~ 7行的repeat迭代和第8~10行的repeat迭代结束时，必然有$A[p..i-1]$中的元素都小于或等于$A[j+1..r]$中的元素。在最后一次while迭代中，repeat迭代结束后，必然有$i=j$或$i=j+1$。如果$i=j$，那么必然有$A[i]=x$，由于$A[p..i-1]$中的元素都小于或等于$A[j+1..r]$中的元素，将$A[i]$加入$A[p..i-1]$，于是有$A[p..i]$ (即$A[p..j]$) 中的元素都小于或等于$A[j+1..r]$中的元素。如果$i=j+1$，那么$j=i-1$，于是有$A[p..j]$中的元素都小于或等于$A[j+1..r]$中的元素。
　　
　　e.
　　

代码链接：https://github.com/yangtzhou2012/Introduction_to_Algorithms_3rd/tree/master/Chapter07/Problem_7-1

最后

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