Partial least squares regression 偏最小二乘回归–潘登同学的Machine Learning笔记

什么时候用PLS

偏最小二乘回归是集主成分分析，典型相关分析和多元线性回归分析3种分析方法的优点于一身

• MLR的缺点: 当自变量的数量大于样本量的时候，解不出$\theta$,回顾解析解
  $$\theta =(X^{T}X{)}^{-1}{X}^{T}Y$$

  设$X_{n\ast k}$,当$k>n$时，$(X^{T}X{)}_{k\ast k}$的秩为n，不是满秩的，所以没有逆矩阵$Rank(AB)\le Rank(B)$

• PCA的缺点: PCA只考虑了自变量的方差，然后选取了方差最大的几个正交变量，可以用于解决共线性问题(计量),没有考虑自变量对因变量的贡献

• PLS: 偏最小二乘回归提供一种多对多线性回归建模的方法，特别当两组变量的个数很多，且都存在多重相关性，而样本又比较少的时候。

基本原理

考虑$P$个因变量$y_1,y_2,\cdots ,y_p$与$m$个自变量$x_1,x_2,\cdots ,x_m$的回归问题。

首先在自变量集中提出第一成分$u_1$($u_1$是$x_1,\dots ,x_n$的线性组合,且尽可能多地提取原自变量集中的变异信息)；同时在因变量集中也提取第一成分$v_1$,并要求$u_1$与$v_1$相关程度达到最大。 然后建立因变量$y_1,\dots ,y_p$与$u_1$的回归，重复这个过程直到提取到足够的指定的成分。

计算步骤

先将$X与Y$标准化
$$A=\left[\begin{array}{ccc}{x}_{11}& \cdots & x_{1m}\\ ⋮& & ⋮\\ x_{n1}& \cdots & x_{nm}\end{array}\right]B=\left[\begin{array}{ccc}{y}_{11}& \cdots & y_{1m}\\ ⋮& & ⋮\\ y_{n1}& \cdots & y_{nm}\end{array}\right]$$

第一步

1. 分别提取两组($X与Y$变量的第一对成分，并使之相关性达到最大
   假设从两组变量中第一对成分为$u_1和v_1$,$u_1$是自变量集$X=[x_1,\cdots ,x_m{]}^T$的线性组合,$v_1$是自变量集$X=[y_1,\cdots ,y_p{]}^T$的线性组合
   $$\begin{gathered} u_1={\rho }_1^{T}X \\ {v}_1={\gamma }_1^{T}Y \end{gathered}$$

为了回归分析的需要，要求

• $u_1和v_1$各自尽可能多地提取所在变量组的变异信息
• $u_1和v_1$的相关程度达到最大

第二步

计算${\rho }_1与{\gamma }_1$

1. 最大化协方差，使得$u_1和v_1$的相关程度达到最大，可以用得分向量$\widehat{u_1}和\widehat{v_1}$的內积来计算
   $$\begin{gathered} \max <\widehat{u_1},\widehat{v_1}>={\rho }_1^{T}AB{\gamma }_1 \\ s.t.\{\begin{array}{l}{\rho }_1^T{\rho }_1=1\\ {\gamma }_1^T{\gamma }_1=1\end{array} \end{gathered}$$

2. 采用Lagrange乘数法，问题化为求单位向量${\rho }_1和{\gamma }_1$,使${\theta }_1={\rho }_1^{T}AB{\gamma }_1$达到最大，问题求解只需计算$M=A^{T}B{B}^{T}A$的特征值与特征向量，且$M$的最大特征值为${\theta }_1^2$，相应的特征向量就是所要求解的${\rho }_1$,进而也能得到${\gamma }_1$
   $${\gamma }_1=\frac{1}{{\theta }_1}{B}^{T}A{\rho }_1$$

第三步

由两组变量集的标准化观察数据矩阵$X和Y$，可以计算第一对成分的得分向量，记为$\widehat{u_1}和\widehat{v_1}$
$$\begin{gathered} \widehat{u_1}=A{\rho }_1 \\ \widehat{v_1}=B{\gamma }_1 \end{gathered}$$

1. 建立$y_1,\cdots ,y_p$对$u_1$的回归及$x_1,\cdots ,x_m$对$u_1$的回归，假定回归模型
   $$\{\begin{array}{l}A=\widehat{u_1}{\sigma }_1^T+A_1\\ B=\widehat{u_1}{\tau }_1^T+B_1\end{array}$$
   其中，${\sigma }_1^T=[{\sigma }_1,\dots ,{\sigma }_m],{\tau }_1^T=[{\tau }_1,\dots ,{\tau }_m]$分别是多对一回归模型中的参数向量，$A_1,B_1$是残差阵

2. 回归系数向量${\sigma }_1,{\tau }_1$的最小二乘估计为
   $$\{\begin{array}{l}{\sigma }_1=\frac{A^T\widehat{u_1}}{||\widehat{u_1}|{|}^2}\\ {\tau }_1=\frac{B^T\widehat{u_1}}{||\widehat{u_1}|{|}^2}\end{array}$$

3. 用残差阵$A_1和B_1$代替$A,B$，重复以上步骤，直到残差阵中元素的绝对值近似为0，每进行一次得到一个${\sigma }_t和{\tau }_t$,

第四步

重复上面的步骤，得到$r$个成分
$$\{\begin{array}{l}A=\widehat{u_1}{\sigma }_1^T+\cdots +\widehat{u_r}{\sigma }_r^T+A_r\\ B=\widehat{u_1}{\tau }_1^T+\cdots +\widehat{u_r}{\tau }_r^T+B_r\end{array}$$

将$u_1={\rho }_1^{T}X$代入$Y=\widehat{u_1}{\tau }_1^T+\cdots +\widehat{u_r}{\tau }_r^T$,即得$P$个因变量的偏最小二乘回归方程式
$$y_j=c_{j1}{x}_1+\dots +c_{jm}{x}_m,j=1,2,\dots ,p$$

交叉有效性检验

应该提取多个个成分，可以使用交叉有效性检验

每次舍去第$i$个观察数据，对余下的$n-1$个观测数据用偏最小二乘回归方法，并考虑抽取$h(h\le r)$个肠粉后拟合的回归式，然后把舍去的自变量组第$j$个观测数据代入所拟合的回归方程式，得到$y_j(j=1,2,\cdots ,p)$在第$i$观测点上的预测值为$\widehat{b_{(i)j}}(h)$

对$i=1,2,\dots ,n$重复以上的验证，即得抽取$h$个成分时第$j$个因变量$y_j(j=1,2,\dots ,p)$的预测误差平方和为
$$PRES{S}_j(h)=\sum _{i=1}^n(b_{(i)j}-{\hat{b}}_{(i)j}(h){)}^2,j=1,2,\dots ,p$$
$Y$的预测误差平方和为
$$PRESS(h)=\sum _{i=1}^{p}PRES{S}_j(h)$$

另外，再采用所有的样本点，拟合含$h$个成分的回归方程。这时，记第$i$个样本点的预测值为${\hat{b}}_{ij}(h)$,则可以定义$y_j$的误差平方和为
$$S{S}_j(h)=\sum _{i=1}^n(b_{ij}-{\hat{b}}_{ij}(h){)}^2$$
定义 $h$成分的误差平方和
$$SS(h)=\sum _{j=1}^{p}S{S}_j(h)$$

当$PRESS(h)$达到最小值时，对应的$h$即为所求的成分$l$个数。通常，总有$PRESS(h)>SS(h)$,而$SS(h)<SS(h-1)$。因此在提取成分时，总是希望$\frac{PRESS(h)}{SS(h-1)}$越小于好，一般可以设定阈值为0.05，判定规则为,当
$$\frac{PRESS(h)}{SS(h-1)}\le (1-0.05{)}^2$$
时，新加成分对回归改善是有帮助的

因此，可以定义交叉有效性
$$Q_h^2=1-\frac{PRESS(h)}{SS(h-1)}$$
在每一步计算结束前，计算交叉有效性，在第$h$步有$\widehat{Q_h^2}<1-0.95^2$，则模型到达精度，可以停止提取成分

python实现

from sklearn.cross_decomposition import PLSRegression
pls = PLSRegression(n_compoents=k)
pls.fit(X,Y)
y_pred = pls.predict(X_test)

最后

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