离散时间信号的傅里叶变换

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我是靠谱客的博主可爱便当，最近开发中收集的这篇文章主要介绍离散时间信号的傅里叶变换，觉得挺不错的，现在分享给大家，希望可以做个参考。

概述

离散时间信号的傅里叶变换，即DTFT(Discrete-Time Fourier Transform)
X(e^jw) = Σ(n=–∞，∞)x(n)e^-jwn ①
w为数字角频率
它是频率f对采样频率f_s做归一化后的角频率。
w = 2πf/f_s
X(e^jw)是w的连续函数，以2π为周期。
①式不一定总是收敛。
收敛条件:
Σ(n=–∞，∞)Ιx(n)Ιe^–jwn = Σ(n=–∞，∞)Ιx(n)Ι＜ ∞
即
X(e^jw)绝对可和
有限长序列总是满足绝对可和
用e^jwm 乘以 ① 式的两边，并在 w 的一个周期内积分
∫(–π，π)X(e^jwm)dw
= ∫(–π，π)[Σ(n=–∞，∞)x(n)e^–jwn]e^jwm dw
=Σ(n=–∞，∞)x(n)∫(–π，π)e^jw(m–n) dw
=2πΣ(n=–∞，∞)x(n)δ(m–n)
即
x(n) = 1/2π[∫(–π，π)X(e^jw)e^jwn]dw ②
X(e^jw) = DTFT[x(n)]
x(n) = IDTFT[X(e^jw)]
一般来说
X(e^jw)是实变量w的复函数
实部和虚部表示:
X(e^jw) = Re [X(e^jw)] ＋ jIm [e^jw]
相位和幅度表示:
X(e^jw) = ΙX(e^jw)Ιe^jφ(w)
ΙX(e^jw)Ι为离散序列x(n)的离散序列x(n)的幅度谱
φ(w)为离散序列x(n)的相位谱