DFT和FFT详解（算法导论学习笔记）

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我是靠谱客的博主自觉玉米，最近开发中收集的这篇文章主要介绍DFT和FFT详解（算法导论学习笔记），觉得挺不错的，现在分享给大家，希望可以做个参考。

概述

代码均为做严格测试，仅供参考

分治法基本原理

将原问题分解为几个规模较小但类似于原问题的子问题，递归的求解这些子问题。然后再合并这些子问题的解来建立原问题的解。递归求解这些子问题，然后再合并这些子问题的解来建立原问题的解。

分治法在分层递归时都有三个步骤：

分解原问题为若干子问题，这些子问题是原问题规模较小的实例。
解决这些子问题，递归的求解各个子问题。然而若子问题的规模足够小。则直接求解。
合并这些子问题的解成原问题的解。

问题描述

两个N次多项式相乘，最直接的复杂度为 O(n2) ，运用傅里叶变换，则可以吧多项式相乘的复杂度转化为 nlog(n)

输入输出均采用系数表达，假设n是2的幂，否则通过添加系数为0的高阶系数。算法准备过程如下：

加倍次数界：通过添加n个系数为0的高阶系数，把多项式A（x）和B（x）变为次数界为2n的多项式，并构造其系数表达。
求值：通过应用2n阶的FFT计算出A（x）和B（x）的长度为2n的点值表达。这些点值表达式中包含了两个多项式在2n次单位根处的取值。
逐点相乘：把A（x）和B（x）的值逐点相乘，可以计算出多项式C（x）=A（x）B（x）长度为2n的点值表达，这个表示中包含了C（x）在每个2n单位根处的值。
插值：通过对2n个点值对应用fft,计算其逆DFT，就可以构造出多项式C（x）的系数表达。

基本概念和定理

单位复数根

n次单位复数根是满足 ωn=1 的复数 ω ，这些根正好有n个，分别是 e2πikn(k=0,1,2...n−1)

其中 e2πin 被称作主n次单位根。 ωj∗ωk=ω(k+j)modn
消去引理

对于任意整数n>=0和k>=0，以及d>=0

ωdkdn=ωkn
折半引理

如果n>0为偶数，那么n个n次单位复数根的平方的集合就是n/2个n/2次单位复数根的集合。

对任意非负整数k，我们有 (ωkn)2=ωkn/2
求和引理

对任意整数n>=1和不能被n整除的非负整数k，有

∑n−1j=0(ωkn)j=0

算法实现

DFT

我们希望计算次数界为n的多项式A(x)= ∑n−1j=0ajxj

在n个n次单位复数根处的值，假设A以系数形式给出： a=(a0,a1,a2...an−1) 。接下来对k=0,1,2,..n-1，定义结果 yk :

yk=A(ωkn)=∑n−1j=0ajωkjn

向量 y=(y0,y1,...yn−1) 就是系数向量a=( a0,a1,...,an−1 )的离散傅里叶变换DFT

FFT

通过使用快速傅里叶变换的方法，利用复数单位根的特殊性质，我们就可以在 θ(nlgn) 的时间内计算出DFT(a)。

首先分别定义两个新的次数界为n/2的多项式

A [0] (x) = a 0 + a 2 + . . . a n - 2 x n / 2 - 1

A[1](x)=a1+a3+...an−1xn/2−1

分别包含了所有偶数下标的系数和奇数下标的系数。

A(x)=A[0](X2)+xA[1](x2)

因而求A（x）在 ω0n,ω1n,…,ωn−1n 处的值得问题转化为：

求次数界为n/2的多项式 A[0](x)+xA[1](x) 在点 (ω0)2…(ωn−1)2 处的取值

用递归方法计算fft的伪代码如下

 RECURSIVE_FFT(a[])
{
n=a.lenth
if(n==1) return a
wn=e^(2*pi*i/n)
w=1
a0[]=(a0,a2,a4...)
a1[]=(a1,a3,a5...)
y0[]=RECURSIVE_FFT(a0[])
y1[]=RECURSIVE_FFT(a1[])
for k=0 to n/2
y[k]=y0[k]+w*y1[k]
y[k+n/2]=y0[k]-w*y1[k]
w=w*wn
return y
}

计算出逆DFT。将fft算法进行修改，将a与y互换，用 ω−1n替换ωn ，并将计算结果的每个数除以n。

算法复杂度分析以及可能的优化

T(n)=2T(n/2)+θ(n)=θ(nlgn)

从算法实现上来看，整体的时间复杂度无法进行优化。

但是可以把递归的算法改成迭代的形式实现。从而节省栈中的空间。同时迭代算法可以做到常数上的优化。

优化实现主要代码

int rev(int k,int n){
int res=0;
while(n){
int x=k&1;
res=res*2+x;
k>>=1;
n>>=1;
}
return res;
}
void bit_reverse(vector<Complex> a,vector<Complex> A){
int n=(int)a.size();
A.resize(n);
for(int k=0;k<n;k++){
A[rev(k,n-1)]=a[k];
}
}
vector<Complex> iterative_fft(vector<Complex> a,double op){
vector<Complex> A;
bit_reverse(a, A);
int n=(int)a.size();
for(int s=0;(1<<s)<n;s++){
int m=1<<s;
int temp=2*m;
Complex wm=Complex(cos(pi/m*op), sin(pi/m*op));
for(int k=0;k<n;k+=temp)
{
Complex w=Complex(1, 0);
for(int j=0;j<m;j++)
{
Complex t=w*A[k+j+m];
Complex u=A[k+j];
A[k+j]=u+t;
A[k+j+m]=u-t;
w=w*wm;
}
}
}
return A;
}

整体实现代码

#include <iostream>
#include <cstdio>
#include <algorithm>
#include <cmath>
#include <cstring>
#include <string>
#include <vector>
#include <map>
#include <set>
#include <complex>
using namespace std;
#define _ sync_with_stdio(false)
typedef long long ll;
typedef complex<double> Complex;
const double pi=acos(-1);
const int INF=0x7fffffff;
vector<Complex> recursive_fft(vector<Complex> a,double op){
vector<Complex> y;
int n=(int)a.size();
if(n==1)
return a;
Complex w=Complex(1,0);
Complex wn=Complex(cos(2*pi/(n*op)),sin(2*pi/(n*op)));
vector<Complex> a0,a1;
for(int i=0;i<n;i++){
if(i&1){
a1.push_back(a[i]);
}else{
a0.push_back(a[i]);
}
}
vector<Complex> y0=recursive_fft(a0, op);
vector<Complex> y1=recursive_fft(a1, op);
y.resize(n);
for(int k=0;k<=n/2-1;k++){
y[k]=y0[k]+w*y1[k];
y[k+n/2]=y0[k]-w*y1[k];
w=w*wn;
}
return y;
}
int rev(int k,int n){
int res=0;
while(n){
int x=k&1;
res=res*2+x;
k>>=1;
n>>=1;
}
return res;
}
void bit_reverse(vector<Complex> a,vector<Complex> A){
int n=(int)a.size();
A.resize(n);
for(int k=0;k<n;k++){
A[rev(k,n-1)]=a[k];
}
}
vector<Complex> iterative_fft(vector<Complex> a,double op){
vector<Complex> A;
bit_reverse(a, A);
int n=(int)a.size();
for(int s=0;(1<<s)<n;s++){
int m=1<<s;
int temp=2*m;
Complex wm=Complex(cos(pi/m*op), sin(pi/m*op));
for(int k=0;k<n;k+=temp)
{
Complex w=Complex(1, 0);
for(int j=0;j<m;j++)
{
Complex t=w*A[k+j+m];
Complex u=A[k+j];
A[k+j]=u+t;
A[k+j+m]=u-t;
w=w*wm;
}
}
}
return A;
}
int main() {
int n,m;
cout<<"请输入第一个多项式的长度:";
cin>>n;
cout<<"请依次输入第一个多项式的系数:";
vector<Complex> s0,s1;
for(int i=0;i<n;i++){
double x;
cin>>x;
s0.push_back(Complex(x,0));
}
cout<<"请输入第二个多项式的长度:";
cin>>m;
cout<<"请依次输入第二个多项式的系数:";
for(int i=0;i<m;i++){
double x;
cin>>x;
s1.push_back(Complex(x,0));
}
//在容器后面补0使得其的阶变为2的幂次
int MAX=max(n,m);
int temp=1;
while(temp<MAX){
temp<<=1;
}
MAX=temp*2;
//cout<<MAX<<endl;
for(int i=n;i<MAX;i++)
s0.push_back(Complex(0,0));
for(int i=m;i<MAX;i++)
s1.push_back(Complex(0,0));
//计算DFT
vector <Complex> ans0=recursive_fft(s0, 1);
vector<Complex> ans1=recursive_fft(s1, 1);
vector<Complex> ans;
ans.resize(MAX);
for(int i=0;i<MAX;i++){
ans[i]=ans0[i]*ans1[i];
}
vector<Complex> res=recursive_fft(ans, -1);
cout<<"相乘之后结果序列表示为:";
for(int i=0;i<n+m-1;i++){
//cout<<"res[i]="<<res[i].real()<<" ";
if(i==n+m-2)
cout<<res[i].real()/(MAX)<<endl;
else
cout<<res[i].real()/(MAX)<<" ";
}
}