有关离散傅里叶级数（DFS）我之前也写过一些博文，例如：离散周期信号的傅里叶级数(DFS)
这里我再次给出标准公式。
分析式：
其中：
综合式：
这里我必须先声明，关于分析式和综合式前面那个系数1/N，到底在分析式的前面还是综合式的前面，不同的书籍定义还不一样，这个我们无所谓了。这里先以这里为准！
先看看分析式，使用MATLAB进行编程时，我们可以使用循环嵌套的方式编程，但是这样做不高效并且很麻烦，这不是我们提倡的做法，我们提倡使用向量化编程，我顺手推到了一下向量化编程的形式：
这里声明，n,k都是行向量，x以及X都是列向量的前提下推导的。
给出手稿版，写的不太详细，但是我想看我这篇博文的人肯定都是本专业的人，所以应该是能看懂的，只需点播而已：
根据这个最后的形式，我们给出dfs的函数程序，为了编程方便，我们同时约定X以及x也为行向量吧。
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14function [Xk] = dfs(xn,N) % Computes Discrete Fourier Series Coefficients %______________________________________________ % [Xk] = dfs(xn,N) % Xk = DFS coefficients array over 0 <= k <= N - 1 % xn = One period of periodic signal over 0 <= n <= N - 1 % N = Fundamental period of xn n = [0:1:N-1]; % row vector for n k = [0:1:N-1]; % row vector for k WN = exp(-j*2*pi/N); nk = n'*k; WNnk = WN .^ nk; %DFS matrix Xk = xn * WNnk;
下面研究IDFS，同样给出手稿版推导向量化编程方案：
上面少了一个负号，在所有的n*k的值前面加一个负号即可。
直接给出MATLAB函数：
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14function [xn] = idfs(Xk,N) % Computes Discrete Fourier Series Coefficients %______________________________________________ % [xn] = idfs(Xk,N) % Xk = DFS coefficients array over 0 <= k <= N - 1 % xn = One period of periodic signal over 0 <= n <= N - 1 % N = Fundamental period of xn n = [0:1:N-1]; % row vector for n k = [0:1:N-1]; % row vector for k WN = exp(-j*2*pi/N); nk = k' * n; WNnk = WN .^(- nk); %IDFS matrix xn = (Xk*WNnk)/N;
上面的推导可谓是一目了然，那么下面给出一个小例子，来体会下这两个函数的应用。
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7clc;clear;close all; xn = [0,1,2,3]; N = 4; Xk = dfs(xn,N) xn = idfs(Xk,N)
Xk =
6.0000 + 0.0000i -2.0000 + 2.0000i -2.0000 - 0.0000i -2.0000 - 2.0000i
xn =
0.0000 - 0.0000i 1.0000 - 0.0000i 2.0000 - 0.0000i 3.0000 + 0.0000i
最后
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