数学中有很多种积，内积、外积、张量积、以及对应元素相乘
1. 内积
内积又叫标量积、数量级、点积、点乘，要求两个矩阵大小相等，定义：
a
⋅
b
=
∣
a
∣
∣
b
∣
cos
∠
(
a
,
b
)
acdot b=|a||b|cosangle(a, b)
a⋅b=∣a∣∣b∣cos∠(a,b)
程序实现：
1
2
3
4
5import numpy as np a = np.arange(10) b = np.arange(10) print(np.dot(a, b))
输出结果：
1
2285 # (1+2*2+3*3+4*4+5*5+6*6+7*7+8*8+9*9)*cos(0) = 285
注意这里的结果是一个标量，没有方向。
2. 外积
外积有叫叉积，不要求两个矩阵大小相等，定义：
∣
a
×
b
∣
=
∣
a
∣
∣
b
∣
sin
∠
(
a
,
b
)
|atimes b| = |a||b|sinangle(a, b)
∣a×b∣=∣a∣∣b∣sin∠(a,b)
程序实现：
1
2
3
4
5import numpy as np a = np.arange(10) b = np.arange(10) print(np.outer(a, b))
输出结果：
1
20 # (1+2*2+3*3+4*4+5*5+6*6+7*7+8*8+9*9)*sin(0) = 0
注意这里结果是一个矢量，方向垂直于a与b组成的平面。
3. 张量积
张量积又叫克罗尼克积，不要求两个矩阵大小相等：
b
⊗
a
→
[
b
1
b
2
b
3
b
4
]
[
a
1
a
2
a
3
]
=
[
a
1
b
1
a
2
b
1
a
3
b
1
a
1
b
2
a
2
b
2
a
3
b
2
a
1
b
3
a
2
b
3
a
3
b
3
a
1
b
4
a
2
b
4
a
3
b
4
]
botimes arightarrowleft[ begin{matrix} b_1 \ b_2 \ b_3 \ b_4\ end{matrix} right][a_1~~ a_2~~ a_3]=left[ begin{matrix} a_1b_1 & a_2b_1 & a_3b_1 \ a_1b_2 & a_2b_2 & a_3b_2 \ a_1b_3 & a_2b_3 & a_3b_3 \ a_1b_4 & a_2b_4 & a_3b_4 end{matrix} right]
b⊗a→⎣⎢⎢⎡b1b2b3b4⎦⎥⎥⎤[a1 a2 a3]=⎣⎢⎢⎡a1b1a1b2a1b3a1b4a2b1a2b2a2b3a2b4a3b1a3b2a3b3a3b4⎦⎥⎥⎤
1
2
3
4
5import numpy as np a = np.arange(10) b = np.arange(10) print(np.kron(a, b))
输出结果：
1
2
3
4
5
6[ 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 0 2 4 6 8 10 12 14 16 18 0 3 6 9 12 15 18 21 24 27 0 4 8 12 16 20 24 28 32 36 0 5 10 15 20 25 30 35 40 45 0 6 12 18 24 30 36 42 48 54 0 7 14 21 28 35 42 49 56 63 0 8 16 24 32 40 48 56 64 72 0 9 18 27 36 45 54 63 72 81]
4. 对应元素相乘
顾名思义，这要求矩阵的大小是一样的，不然会报错。
1
2
3
4
5import numpy as np a = np.arange(10) b = np.arange(10) print(a * b)
输出结果：
1
2[ 0 1 4 9 16 25 36 49 64 81]
最后
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