Matlab 仿真——直流电机速度控制（1）直流电机建模

该系列我们学习如何对直流电机进行速度控制，第一节我们先分析一个简化的电机模型，并推导它的转换方程和状态空间方程，然后定义我们要实现的速度控制需要达到的性能。

1. 物理模型

一个直流电机模型如下所示：

为了简化讨论，假设转子和转轴都是刚体，转子受到的磁场恒定，转子受到的摩擦为粘性摩擦，即受到的摩擦力与速度成正比。

假设该电机的物理参数为：

(J) 转子的转动惯量 0.01 kg.m^2
(b) 电机粘性摩擦常数 0.1 N.m.s
(Ke) 电动势常数 0.01 V/rad/sec
(Kt) 电机扭矩常数 0.01 N.m/Amp
(R ) 电阻 1 Ohm
(L) 电感 0.5 H

2. 系统方程

有了物理模型和参数之后，我们开始推导该电机的系统方程。一般情况下直流电机的扭力与电流成正比（磁场恒定），那么我们有：
$$T=K_{t}i$$

反电动势与转速成正比：
$$e=K_e\dot{\theta }$$

不失一般性，我们令Kt=Ke，统统用K表示。根据牛顿第二定律和基尔霍夫电压定律得到：

$$J\ddot{\theta }+b\dot{\theta }=Ki$$
$$L\frac{di}{dt}+Ri=V-K\dot{\theta }$$

2.1 转换方程表达

对上述两式进行拉氏变换得到：
$$s(Js+b)\Theta (s)=KI(s)$$
$$(Ls+R)I(s)=V(s)-Ks\Theta (s)$$
通过消除电流项得到：
$$P(s)=\frac{\dot{\Theta }(s)}{V(s)}=\frac{K}{(Js+b)(Ls+R)+K^2}[\frac{rad/sec}{V}]$$

2.2 状态空间表达

我们选择转速和电流作为我们的状态变量得到z状态空间表达：
$$\frac{d}{dt}\left[\begin{array}{c}\dot{\theta }\\ \\ i\end{array}\right]=\left[\begin{array}{cc}-\frac{b}{J}& \frac{K}{J}\\ & \\ -\frac{K}{L}& -\frac{R}{L}\end{array}\right]\left[\begin{array}{c}\dot{\theta }\\ \\ i\end{array}\right]+\left[\begin{array}{c}0\\ \\ \frac{1}{L}\end{array}\right]V$$
$$y=[\begin{array}{cc}1& 0\end{array}]\left[\begin{array}{c}\dot{\theta }\\ \\ i\end{array}\right]$$

3. 设计要求

现在我们确定电机的性能参数，并根据参数来设计控制器。首先我们希望它输入1V电压的时候稳定状态下保持0.1 rad/sec的转速，稳定时间2s，稳态误差不超过1%，并且受到阶跃输入干扰的时候超调小于5%。根据以上要求我们总结出以下需求：

• 稳定时间<2s
• 超调<5%
• 稳态误差<1%

4. Matlab表达

接下来我们在Matlab里面表达出该系统

4.1 转换方程表达

%motor parameter
J = 0.01;
b = 0.1;
K = 0.01;
R = 1;
L = 0.5;
%motor tf function
s = tf('s');
P_motor = K/((J*s+b)*(L*s+R)+K^2)

输出

4.2 状态空间表达

A = [-b/J   K/J
    -K/L   -R/L];
B = [0
    1/L];
C = [1   0];
D = 0;
motor_ss = ss(A,B,C,D)

输出

下一节我们用Matlab来分析这个系统。

5. 引用

https://ctms.engin.umich.edu/CTMS/index.php?example=MotorSpeed&section=SystemModeling

最后

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