LCS算法(Longest Common Sequence)

LCS算法

Longest Common Sequence

假设存在两个字符串序列 X 和 Y

X = { x 1 , x 2 , . . . , x n } X = {x_1, x_2, ..., x_n} X={x1​,x2​,...,xn​}

Y = { y 1 , y 2 , . . . , y n } Y = {y_1, y_2, ..., y_n} Y={y1​,y2​,...,yn​}

考虑两个序列最后一个元素是否相等，可以得到
$$LCS(x_n,y_m)=\{\begin{array}{l}LCS(x_{n-1},y_{m-1})+1,x_n=y_m\\ max(LCS(x_{n-1},y_m),LCS(x_n,y_{m-1})),x_n!=y_m\end{array}$$

同时考虑到当字串为0的时候就不存在相等元素，完善递推式
$$LCS(x_n,y_m)=\{\begin{array}{l}0,n=0orm=0\\ LCS(x_{n-1},y_{m-1})+1,x_n=y_m\\ max(LCS(x_{n-1},y_m),LCS(x_n,y_{m-1})),x_n!=y_m\end{array}$$
递推式即为dp方程。

递推的过程是把一个大问题转化成子问题，同时我们在写dp程序的时候要明白一点 任何大问题转化成子问题的前提是子问题已经得解，从而反推到大问题解决！！！，所以实际上这个递推式转化成方程就是当任一字符串长度为0的时候，无元素相同，即为dp[0][0] = 0 dp[0][1] = 0dp[1][0] = 0 , 然后就可以通过递推式求其他情况的答案了。

// LCS典型题

#include <algorithm>
#include <cstdio>
#include <iostream>
#include <string>

using namespace std;

const int N = 1e4 + 10;
int dp[N][N];

int main() {
    string a, b;
    getline(cin, a);
    getline(cin, b);

    for (int i = 1; i <= a.length(); i++) {
        for (int j = 1; j <= b.length(); j++) {
            if (a[i - 1] == b[j - 1]) {
                dp[i][j] = dp[i - 1][j - 1] + 1;
            } else {
                dp[i][j] = max(dp[i - 1][j], dp[i][j - 1]);
            }
        }
    }
    
    cout << dp[a.length()][b.length()] << endl;
    return 0;
}

这里构造dp数组直接空出两行，表示任意一个序列长度为0的时候，无相同字符，对应位置数字为0

最后

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