matlab和矩阵论的联系,矩阵论联系28（盖尔圆）

定义

设 (A=(a_{ij})_{ntimes n})，称 (A) 的特征值的集合为 (A) 的谱，称 (A) 的特征值的模的最大值为 (A) 的谱半径，记为 (rho(A)). 记

[R_i = |a_{i1}|+cdots + |a_{ii-1}|+|a_{ii+1}|+cdots + |a_{in}|,

]

[C_i = {z| |z-a_{ii}|le R_i}

]

称之为 (A) 的第i个盖尔圆；

称 (G = cup_{i=1}^n C_i) 为 (A) 的盖尔圆系。

对于盖尔圆，说人话就是，以某一行的处于对角线元素为圆心，以该行其余元素的模的和为半径的一个圆，这里考虑的是复矩阵，所以是模，而不是绝对值。

定理

矩阵 (A) 的特征值必定在 (A) 的盖尔圆系中。

谱半径的估计

设 (A=(a_{ij})_{ntimes n})，

[rho_1 = maxlimits_{1le ile n}{sumlimits_{j=1}^n |a_{ij}| },\rho_2 = maxlimits_{1le jle n}{sumlimits_{i=1}^n |a_{ij}| }\]

则 (rho(A)le min(rho_1, rho_2))。

说人话就是，谱半径小于等于和的最小值。

题目

设矩阵 (A=left( begin{matrix}

1 & 2 & 3 & 42 & 3 & 4 & 13 & 4 & 1 & 21 & 1 & 2 & 3

end{matrix} right))，试证：(rho(A)lt 10)。

解答

根据小于等于10，由谱半径的估计，容易证明(rho(A)le 10)。

如果再证明10不是特征值，其实不够，因为盖尔圆是再复平面的一个圆，除了(10,0i)外还有无数模为10的点。

可以用图像画出所有盖尔圆，即圆心是对角线元素(复数，本题中虚部为0)，可以看出，盖尔圆的并集中模最大的点为(10,0)，其余点的模均小于10，此时再证明10不是特征值，即可说明 (rho(A)lt 10)。

盖尔圆如下图所示，两条黑线交点为原点：

要说明10不是特征值，证明 (|A-10I|ne 0) 即可，此处略。

原文：https://www.cnblogs.com/forcekeng/p/13621026.html