XX^{T} 和 X^{T}X 的关系

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我是靠谱客的博主乐观往事，最近开发中收集的这篇文章主要介绍XX^{T} 和 X^{T}X 的关系，觉得挺不错的，现在分享给大家，希望可以做个参考。

记 $A = X^TX， B = XX^T$ 。假设 $R^{m times n}$ ，则 $R^{n times n}$ ， $R^{m times m}$ 。易得 $d i m (A) = d i m (B) = d i m (X)$

显然，A 和 B 都是对称半正定矩阵，且 A 有 n 个特征向量， B 有 m 个特征向量。

特征向量之间的关系：
若 u 是 B 的特征向量，即 $B u = λ u$ ，则 $X^T u$ 是 A 的特征向量。

证明： $A(X^T u) = X^TXX^Tu = X^TBu = X^T(lambda u) = lambda(X^T u)$

同理，若 v 是 A 的特征向量，即 $A v = λ v$ ，则 $X v$ 是 B 的特征向量。

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