生成函数

可表示为$F(x)=\sum _n{a}_n{k}_n(x)$，对于不同类型的生成函数，有不同的核函数$k_n(x)$。

普通生成函数：$k_n(x)=x^n$。

指数生成函数：$k_n(x)=\frac{x^n}{n!}$。

迪利克雷生成函数：$k_n(x)=\frac{1}{n^x}$。

普通生成函数

封闭形式

在运用生成函数的过程中，我们不会一直使用形式幂级数的形式，而会适时地转化为封闭形式以更好地化简。

对于$<1,1,1,\cdots >$的普通生成函数$F(x)=\sum _{0\le n}{x}^n$，$F(x)x+1=F(x)$，$F(x)=\frac{1}{1-x}$

一些函数的封闭形式化简

$<1,p,p^2,p^3,p^4,\cdots >$

$F(x)=\sum _{n\ge 0}{p}^n{x}^n,F(x)px+x=F(x),F(x)=\frac{x}{1-px}$

$<0,1,1,1,1,\cdots >$

$F(x)=\sum _{n\ge 1}{x}^n,xF(x)+x=F(x),F(x)=\frac{x}{1-x}$

$<1,0,1,0,1,\cdots >$

$F(x)=\sum _{n\ge 0}{x}^{2n},F(x)x^2+1=F(x),F(x)=\frac{1}{1-x^2}$

$<1,2,3,4,5,\cdots >$

$F(x)=\sum _{n\ge 0}(n+1)x^n,F(x)-xF(x)=\sum _{n\ge 0}{x}^n=\frac{1}{1-x},F(x)=\frac{1}{(1-x{)}^2}$

$a_n={(}_n^m)(m是常数，n\ge 0)$

$F(x)=\sum _{n\ge 0}{C}_m^n{x}^n,二项式定理有F(x)=(1+x{)}^m$

$a_n={(}_n^{n+m})(m是常数，n\ge 0)$

$F(x)=\sum _{n\ge 0}{C}_{n+m}^n{x}^n,F(x)=\frac{1}{(1-x{)}^{m+1}}$

斐波那契数列生成函数

$$\begin{gathered} F(x)=a_0+a_{1}x+a_2{x}^2+\dots \\ xF(x)=a_{0}x+a_1{x}^2+a_2{x}^3+\dots \\ {x}^{2}F(x)=a_0{x}^2+a_1{x}^3+a_2{x}^4+\dots \\ F(x)=xF(x)+x^{2}F(x)+a_0 \\ F(x)=\frac{1}{1-x-x^2} \\ 求解1-x-x^2=(1-ax)(1-bx)，得到a=\frac{1+\sqrt{5}}{2},b=\frac{1-\sqrt{5}}{2} \\ F(x)=\frac{1}{1-x-x^2}=\frac{A}{1-ax}+\frac{B}{1-bx} \\ 解得A=\frac{1}{\sqrt{n}}a,B=-\frac{1}{\sqrt{5}}b \\ 有F(x)=\frac{a}{\sqrt{5}}\frac{1}{1-ax}-\frac{b}{\sqrt{5}}\frac{B}{1-bx} \\ 由\sum _{n\ge 0}{C}_{n+m}^n{x}^n=\frac{1}{(1-x{)}^{m+1}} \\ 可解得斐波那契生成函数的第n项系数，a_n=\frac{a}{\sqrt{5}}{a}^n-\frac{b}{\sqrt{5}}{b}^n \\ {a}_n=\frac{1}{\sqrt{5}}((\frac{1+\sqrt{5}}{2}{)}^{n+1}-(\frac{1-\sqrt{5}}{2}{)}^{n+1}) \end{gathered}$$

一道生成函数模板题

由题意可列出式子
$$\begin{gathered} \sum _{n\ge 0}{x}^{6n}=\frac{1}{1-x^6} \\ \sum _{n\ge 0}^9{x}^n=\frac{x^{10}-1}{x-1} \\ \sum _{n\ge 0}^5{x}^n=\frac{x^6-1}{x-1} \\ \sum _{n\ge 0}{x}^{4n}=\frac{1}{1-x^4} \\ \sum _{n\ge 0}^7=\frac{x^8-1}{x-1} \\ \sum _{n\ge 0}{x}^{2n}=\frac{1}{1-x^2} \\ \sum _{n\ge 0}^1{x}^n=\frac{x^2-1}{x-1} \\ \sum _{n\ge 0}{x}^{8n}=\frac{1}{1-x^8} \\ \sum _{n\ge 0}{x}^{10n}=\frac{1}{1-x^{10}} \\ \sum _{n\ge 0}^3=\frac{x^4-1}{x-1} \\ 全部乘起来得到\frac{1}{(1-x{)}^5} \\ 得到第n项为C_{n+4}^n=C_{n+4}^4 \end{gathered}$$

#3027. [Ceoi2004]Sweet

题目就是要我们求：
$$\begin{gathered} F(x)=\prod _{i=1}^n\frac{1-x^{m_i+1}}{1-x} \\ F(x)(1-x{)}^n=\prod _{i=1}^{n}1-x^{m_i+1} \end{gathered}$$
只需要暴力展开左右两边，枚举系数即可求得，

最后

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