生成函数

百度百科：在数学中，某个序列的母函数(Generating
function，又称生成函数)是一种形式幂级数，其每一项的系数可以提供关于这个序列的信息。使用母函数解决问题的方法称为母函数方法。

总结一下来说就是一句话：
既然是总结那就最后再回来看

把组合问题的加法法则和幂级数的的乘幂的相加对应起来

母函数分为很多种，包括普通母函数、指数母函数、L级数、贝尔级数和狄利克雷级数等。这里就细讲一下普通型母函数。

普通型母函数：
定义：对于任意数列 $a_0,a_1,a_2...a_n$即用如下方法与一个函数联系起来：

G(x) = $a_0+a_{1}x+a_2{x}^2+...+a_n{x}^n$

则称G(x)是数列a的生成函数。

引用 oi-wiki
常见的普通生成函数有：
1.序列a = {1, 2, 3}的普通生成函数是1+2x+3x^2。
2.序列a = {1,1,1,…}的普通生成函数是${\sum }_0^n{x}^i$。
3.序列a = {1,2,4,8,16…}的生成函数是${\sum }_0^n{2}^n{x}^i$。
即：g(x) = $1+2x+4x^2+8x^4+...$
4.序列a = {1,3,5,7,9,…}的生成函数是${\sum }_0^n(2n+1)x^n$

换句话说，如果序列 a 有通项公式，那么它的普通生成函数的系数就是通项公式。

封闭形式

在运用生成函数的过程中，我们不会一直使用形式幂级数的形式，而会适时地转化为封闭形式以更好地化简。

例如 {1,1,1,…}的普通生成函数$F(x)={\sum }_0^n{x}^i$，我们发现
$F(x)x+1=F(x)$ ------> $F(x)=\frac{1}{1-x}$
这就是$F(x)={\sum }_0^n{x}^i$的封闭形式

常用生成函数的封闭形式推导
1.a = {0,1,1,1,…}。
2.a = {1,0,1,0,1,…}。
3.a = {1,2,3,4,…}。
4.$a_n=C_n^m$(m是常数，$n\ge 0$)。
5.$a_n=C_{m+n}^n$(m是常熟，$n\ge 0$)。

1.$F(x)={\sum }_1^n{x}^i=\frac{x}{1-x}$
2.$F(x)={\sum }_0^n{x}^{2i}=\frac{1}{1-x^2}$
3.$F(x)={\sum }_1^n(i+1)x^i=\frac{1}{1-x^2}$
4.二项式定理：$F(x)={\sum }_0^i{C}_i^m{x}^i=(1+x{)}^m$
5.$F(x)={\sum }_0^i{C}_{i+m}^i{x}^i=\frac{1}{(1-x{)}^{m+1}}$

说了这么多算是对生成函数有了一个初步的了解的吧

上例题

例一：
有1克，2克，3克，4克的砝码各一枚，能称出哪几种重量？每种重量各有几种可能方案？

分析：对于每一种砝码我们都有取和不取的操作，我们拿前两种砝码来看一共有：(选1g||不选1g)&&(选2g||不选2g) 中方案。

用母函数来解决这个问题就是：
每种砝码有两种状态

1g砝码用函数$1+x^1$表示
2g砝码用函数$1+x^2$表示
3g砝码用函数$1+x^3$表示
4g砝码用函数$1+x^4$表示

其中x表示砝码，x的指数表示砝码的重量
取4g砝码来说$1+x^4$应写成$1x^0+x^4$ 其中$1x^0$表示重量为4g的砝码数量为0个，$1x^4$表示重量为4g的砝码数量为1个

我们将这四种砝码能取得状态相乘，也就是卷积。
$(1+x)(1+x^2)(1+x^3)(1+x^4)$
结果为：(1 + x + x² + 2x³ + 2x⁴ + 2x⁵ + 2x⁶ + 2x⁷ + x⁸ + x⁹ + x¹⁰)
得出可以称出1g到10g，系数就是方案数。这里也就是最开始说的那句话的体现之处。

例二：

求用1分、2分、3分的邮票贴出不同数值的方案数：
例一和例二有什么区别？例一每种是一个，而例二每种是无限的。

生成函数：$g(x)=(1+x+x^2+x^3+...)(1+x^2+x^4+x^6+...)(1+x^3+x^6+x^9+...)$

将其展开其中每一项的指数就是n,其系数就是对应方案数。
这题跟整数拆分是同样道理
整数拆分：HDU1028
题意：将整数n拆成若干整数的和，问有多少种方案数？

代码加超详细注释

#include<iostream>
#include<cmath>
#include<cstdio>
#include<cstring>
#include<bits/stdc++.h>
#define ll long long
using namespace std;
const int maxn = 1e5 + 10;

int a[maxn], b[maxn];
//a[] 保存各项质量砝码可以组合的数目
//b[] 是中间量， 保存每一次的情况 
/*
	g(x) = (1+x+x^2+x^3+x^4+...)*(1+x^2+x^4+x^6+x^8+...)*(1+x^3+x^6+x^9+...)...
	每一种都有无限个 第i个括号表示第i个数可以取的所有状态
*/
int main(){
	int n;
	while(cin >> n){
		for(int i=0; i<=n; i++){
			a[i] = 1; // 对1 + x + x^2 + x^3 + ... 初始化系数为1   1-n个数都有一种方案(全由1组成) 
			b[i] = 0; //作为滚动数组 初始化为0 用来累加每个括号的乘法运算 
		}
		for(int i=2; i<=n; i++){ // 和第i个括号进行乘积 
			for(int j=0; j<=n; j++){ // 表示前i个括号乘积表达式中每一项的系数 
				for(int k=0; k+j<=n; k+=i){ // 表示第j个指数 每次自增i（因为第i个表达式的增量是i）
					//将相同指数项 的系数相加 
					//j+k则表示乘法中指数相加 
					b[j+k] += a[j]; // a[j]是新进入乘法的那个括号中系数
				}
			}
			for(int j=0; j<=n; j++){ //滚动数组 
				a[j] = b[j];
				b[j] = 0;
			}
		}
		cout << a[n] << endl;
	}
	return 0;
}

…剩余生成函数有时间再补充
创作不易若有奇怪的知识增加留个赞吧
引用某些博主的文章，如有问题请私。

最后

以上就是妩媚奇异果为你收集整理的生成函数(母函数)--详解+例题生成函数G(x) = a 0 + a 1 x 的全部内容，希望文章能够帮你解决生成函数(母函数)--详解+例题生成函数G(x) = a 0 + a 1 x 所遇到的程序开发问题。

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