连续时间基本信号

信号与系统课程涉及的连续时间基本信号主要包含：普通信号（连续时间复指数信号、采样信号），奇异信号（单位阶跃信号、单位斜坡信号、单位冲激信号），常用信号（门信号、符号信号、三角信号）。

一、普通信号

（一）连续时间复指数信号

$$x(t)=e^{st},-\infty <t<\infty$$

（二）采样信号

$$Sa(t)=\frac{sint}{t}$$
后续学习主要会使用到的性质：

1. $even.$

2. $t=k\pi ,Sa(t)=0,|k|\ge 1$.

3. $li{m}_{t\to 0}Sa(t)=1$.

4. ${\int }_{-\infty }^{\infty }Sa(t)dt=\pi$.

二、奇异信号

（一）单位阶跃信号

后续学习主要会使用到的性质：
1.单边特性：$$y(t)=x(t)u(t)$$
示意如图：

2. 表示信号的作用区间：$$x(t)=(2-t)(u(t)-u(t-2))$$

（二）单位斜坡信号

存在和单位阶跃信号的微积分转化关系：$$\begin{array}{rl}\frac{d}{dt}r(t)& =u(t)\\ {\int }_{-\infty }^{t}u(\tau )d\tau & =r(t)=tu(t)\end{array}$$

（三）单位冲激信号

1.筛选特性，筛选出$t_0$：$$\begin{array}{rl}x(t)\delta (t-t_0)& =x(t_0)\delta (t-t_0)\end{array}$$
2. 取样特性，在积分限内就取得到$t_0$时的样：$${\int }_{-\infty }^{\infty }x(t)\delta (t-t_0)dt=x(t_0)$$
3. 展缩特性，提取系数：$$\delta (at+b)=\frac{1}{a}\delta (t+\frac{b}{a})$$
$PS:$由$a=-1,b=0⟹\delta (-t)=\delta (t)$， 偶函数。
4. 复合函数性质：$$\delta [sin(t)]=\sum _{k=-\infty }^{\infty }\delta (t-k\pi )$$
若$x(t)=0$有$n$个互不相等的实根$t_1,t_2,\cdots ,t_n$，则：$$\delta [x(t)]=\sum _{i=1}^n\frac{1}{|x^{\prime }(t_i)|}\delta (t-t_i)$$

存在和单位阶跃信号的微积分转化关系：$$\begin{array}{r}{\int }_{-\infty }^t\delta (\tau )d\tau =u(t)\\ \frac{d}{dt}u(t)=\delta (t)\end{array}$$

三、常用信号

（一）门信号

$$\begin{array}{rl}x(t)& =(2-t)[u(t)-u(t-2)]\\ x(t)& =(2-t)G_2(t-1)\end{array}$$
$G_{\tau }(t)$图像如下图所示，形似一道门。

（二）三角信号

$${\Lambda }_{2\tau }(t)=\{\begin{array}{rl}1-\frac{|t|}{\tau }& |t|\le \tau \\ 0& |t|>\tau \end{array}$$
三角信号的一种表示形式，今后会学习更为便利的表示方式，暂作了解即可。

（三）符号信号

工程意义很大的经典信号。
$$sgn(t)\{\begin{array}{r}1t>0\\ -1t<0\end{array}$$

最后

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