“SNR”、“Eb/N0”与“Es/N0”辨析

1. 符号说明

由上表可知，$$R_b=\frac{k}{T}，使用M进制传输时，k=lo{g}_{2}M$$

2. 信噪比的定义

  信噪比一般定义为信号（平均）功率与噪声（平均）功率之比，又可进一步细分为平均信噪比$S/N$，比特信噪比$E_b/N_0$，符号信噪比$E_s/N_0$。通信系统仿真中常用dB形式：

$$\begin{array}{rlrl}SNR& =10log(S/N)& ——& 信号噪声平均功率比的dB形式\\ ebno& =10log(E_b/N_0)& ——& 比特信噪比的dB形式\\ esno& =10log(E_s/N_0)& ——& 符号信噪比的dB形式\end{array}$$

3. $E_b/N_0与S/N$

$S=E_b\times R_b$ —— 信号平均功率=每秒传输的信号能量
$N=N_0\times W$ —— 噪声功率=噪声功率谱密度×信道带宽

于是有：

$$\frac{S}{N}=\frac{E_b\times R_b}{N_0\times W}=\frac{E_b}{N_0}\times \frac{R_b}{W}=\eta \frac{E_b}{N_0}\text{\hspace{1em}(1)}$$

其中

$\eta =R_b/W$称为频带利用率——单位频带内的信息传输速率，单位：bit/(s·Hz)

4. $E_b/N_0与E_s/N_0$

$$\begin{gathered} E_s=E_b\times k \\ k=lo{g}_{2}M \end{gathered}$$

于是有
$$\frac{E_s}{N_0}=k\times \frac{E_b}{N_0}=lo{g}_{2}M\times \frac{E_b}{N_0}\text{\hspace{1em}(2)}$$

由上式可以看出，$E_b/N_0$与$k$无关，而$E_s/N_0$与$k$有关，$k$是每个符号中包含的信息bit数，受编码速率以及调制方式等因素的影响。在数字通信系统仿真中，多用$E_b/N_0$做为衡量系统性能的指标。

5. $E_s/N_0与S/N$

由（1）（2）可知，
$$\frac{E_s}{N_0}=k\times \frac{S}{N}\times \frac{W}{R_b}=\frac{S}{N}\times TW\text{\hspace{1em}(3)}$$

6. SNR、ebno与esno

由以上推导可以看出$S/N$、$E_b/N_0$与$E_s/N_0$是线性关系，仿真时候可以当成一个参数看待，它们的dB形式一般用$SNR$、$ebno$和$esno$表示，于是有
$$\begin{array}{rl}esno& =ebno+10lg(k)\\ ebno& =SNR-10lg(R_b/W)\\ esno& =SNR+10lg(TW)\end{array}$$

7. 通信系统仿真☆☆☆

首先要明白这三个信噪比的概念。

• $SNR$：每个采样点上的信噪比，也是MATLAB中AWGN函数需要输入的信噪比；
• $E_b/N_0$：比特信噪比，指的是每bit的能量与噪声功率谱密度之比，也是BER差错性能曲线的横轴（BER是指比特误码率）；
• $E_s/N_0$：符号信噪比，指的是每个符号的能量与噪声功率谱密度之比。

相互转换（与6中基本相同，再重复写一遍）：

1. $E_b/N_0$与$E_s/N_0$之间的关系：
   $$E_s{N}_0(dB)=E_b{N}_0(dB)+10lg(k)\text{\hspace{1em}(4)}$$

2. $E_b/N_0$与$SNR$之间的关系：
   $$E_b{N}_0(dB)=SNR(dB)-10lg(R_b/W)\text{\hspace{1em}(5)}$$

3. $E_s/N_0$与$SNR$之间的关系：
   对于实信号：
   $$E_s{N}_0(dB)=SNR(dB)+10lg(0.5\ast T/T_s)\text{\hspace{1em}(6)}$$

   对于复信号：$$E_s{N}_0(dB)=SNR(dB)+10lg(T/T_s)\text{\hspace{1em}(7)}$$

当我们要使用AWGN这个函数的时候要通过一系列转换成需要的SNR。

下面给出（6）的简单推导：
由（3）式可知
$$\frac{E_s}{N_0}=\frac{S}{N}\times TW$$

根据低通采样定理，此处令$$f_s=2f_m=2W$$

则，$$W=f_s/2=\frac{1}{2T_s}$$

带入（3）得$$\frac{E_s}{N_0}=\frac{S}{N}\times \frac{T}{2T_s}$$

等式两边取dB形式即得（6）。

对于复信号，参考文章1中给出的解释是：复信号的功率谱密度为单边，实信号的功率谱密度为双边，所以在相同信号功率的前提下复信号的带宽减半，功率谱密度加倍。因此实信号与复信号相差一个系数。（注：此解释也不是很清晰，如果之后我有好的理解方式，会给出更详细的解释）

mathworks官方帮助文档也对此给出了说明，可参考：AWGN Channel

8. 仿真中的参数设置问题

• 为什么要将$E_b{N}_0$转换为$SNR$呢？
  因为要加入高斯白噪声信道，高斯白噪声信道的噪声参数是与$SNR$直接相关的，所以要将$E_b{N}_0$转换为$SNR$。

• 为什么仿真要用$E_b{N}_0$，而不用$SNR$呢？
  因为用$E_b{N}_0$可以直观的看到系统性能，比如只采用QPSK，那么BER达到千分之一时，$E_b{N}_0$大约为7；而采用单用户，进行了信道编码与均衡，采用QPSK星座映射，但$E_b{N}_0$为7时，BER为百分之一，那就证明系统设计有问题或者仿真出错了。因为$SNR$和$E_b{N}_0(dB)$是线性关系，所以用$SNR$为参数看BER只能看到大概的趋势，不能看到系统性能到底如何。

  总的来说，就是用$E_b{N}_0$（作为BER差错性能曲线的横轴）来做通信系统仿真，观察系统性能，而当仿真过程中要使用AWGN Channel（加性高斯白噪声信道）时，需要将$E_b{N}_0$转换为$SNR$作为AWGN信道参数输入。

转换公式：
$$\frac{S}{N}=\frac{E_b}{N_0}\times \frac{R_b}{W}=\eta \frac{E_b}{N_0}$$$$SNR(dB)=E_b{N}_0(dB)+10lg(R_b/W)$$其中，$\eta =R_b/W$称为频带利用率：单位频带内的信息传输速率，单位：bit/(s·Hz)
MATLAB中涉及到AWGN仿真时，通常可以认为SNR(dB)=EsN0(dB)（即TW=1，认为符号周期与信号带宽互为倒数），在MATLAB官方参考文档中，给出的转换公式如下：
$$SNR(dB)=E_b{N}_0(dB)+10lg(k)$$

参考文章

1. 信噪比SNR , Eb/N0 , Es/N0区别与联系之深入剖析
2. 通信系统仿真中SNR，Eb/N0，Es/N0的区别与联系
3. SNR到底怎么用EbNo表示

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最后

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