一、 奈氏定理 与 香农定理

“奈氏定理” 规定的是 码元极限传输速率 , 没有规定 比特极限传输速率 , “香农定理” 就是规定该 “比特极限传输速率” 的 ;

“香农定理” 还考虑到了 信号传输过程中的 噪声干扰情况 ;

二、 噪声

"噪声" 简介 :

① “噪声” 存在位置 : 存在于 所有电子设备 和 通信信道 中 ;

② “噪声” 影响 : 由于 噪声 是随机产生的 , 其瞬时值 可能很大 , 从而导致 接收端 对 接收的 码元 产生错误的解析 ;

③ “噪声” 相对影响 : 噪声 对 码元信号 的影响是相对的 , 如果信号较强 , 那么噪声影响会比较小 ;

三、 信噪比

"信噪比" 概念 : 信号平均功率 与 噪声平均功率 比值 ;

① 比值形式 : $\frac{信号平均功率}{噪声平均功率}$ , 记作 S/N , 该信噪比没有单位 , 是一个纯数值 ;

② 分贝形式 : 单位是 分贝 ( dB ) , 计算公式如下 :

$$信噪比(dB)=10lo{g}_{10}(\frac{S}{N})$$

这里注意 信噪比 的两种表示方式 :

• $S/N$ 是纯数值 , 没有单位 ;
• $10lo{g}_{10}(\frac{S}{N})$ 单位是分贝 ;

上述两种形式的信噪比是等价的 , 代表同一个含义 , 分贝单位的信噪比只是看起来数字比较好看 ;

信噪比越大 , 噪声大于码元的影响就越小 ;

四、 香农定理

香农定理 : 在 带宽受限 , 有噪声 的 信道 中 , 为了不产生误差 , 信息的 数据传输速率 有上限值 ;

① 前提条件 : 带宽受限 , 有噪声 ; 注意 与 奈氏准则 的条件参照理解 , 奈氏定理 的条件是 带宽受限 , 没有噪声 ;

② 误差原因 : 奈氏准则 是由于 码间串扰 产生失真 , 香农定理 是由于 噪声 产生 误差 ;

③ 限制内容 : 奈氏准则 设定 码元极限传输速率 , 香农定理 设定 数据极限传输速率 ;

五、 香农定理 公式

香农定理公式 :

$$信道极限数据传输速率=Wlo{g}_2(1+S/N)$$

单位是 比特/秒 ( b/s )

$W$ 带宽 , 单位 是 赫兹 ( Hz ) ;

$S/N$ 是信噪比

$S$ 是信道内信号的平均功率

$N$ 是信道内的高斯噪声功率 ;

信噪比计算 :

• 数值 信噪比 : 如果给出的信噪比是 数值 , 没有单位可以直接代入 , 代替上述 $S/N$ ;
• 分贝 信噪比 : 如果给出的信噪比是 dB 值 , 那么需要 根据 $信噪比(dB)=10lo{g}_{10}(\frac{S}{N})$ 公式 , 计算出 $S/N$ 的值 ;

六、 香农定理 推论

带宽 信噪比 与 数据极限传输速率 : 信道 带宽 或 信噪比 越大 , 数据极限传输速率 越高 ;

知道 带宽 和 信噪比 , 就可以求出 数据极限传输速率 ;

只要 信息传输速率 低于 信道的 数据极限传输速率 , 一定能找到某种方法实现无差错传输 ;

香农定理 计算出的是 数据极限传输速率 , 信道的实际传输速率比该值要低 ;

如果 带宽 和 信噪比 $S/N$ 没有上限 , 信道的极限传输速率也没有上限 ; ( 仅做参考 , 实际上无法实现 )

七、 “香农定理” 计算示例

信道带宽 $3000Hz$ , 信噪比 $30dB$ , 根据香农定理 计算 数据极限传输速率 $?$

计算 $S/N$ :

先根据 $信噪比(dB)=10lo{g}_{10}(S/N)$ 公式计算出 $S/N$ 值 ;

$信噪比(dB)=10lo{g}_{10}(S/N)=30$
$信噪比(dB)=lo{g}_{10}(S/N)=3$
$S/N=10^3=1000$

信道 极限传输速率 计算 :

$信道极限数据传输速率=Wlo{g}_2(1+S/N)$

$信道极限数据传输速率=3000lo{g}_2(1+1000)\approx 30000b/s=30kb/s$

八、 “香农定理” 与 “奈氏准则” 对比

"奈氏准则" 核心是针对 内部问题 :

① 使用环境 : 带宽受限 , 没有外部的噪声干扰 ;

② 针对问题 : 为了避免 码间串扰 , 将 码元的传输速率 上限设置成 2W 波特 ( Baud ) ;

理想状态下信道的极限传输速率 = $2Wlo{g}_{2}V$ 比特 / 秒

提高数据传输速率 :

• 提高带宽
• 采用更好的编码技术 , 使单个码元携带更多信息量 ;

"香农定理" 核心是针对 外部问题 :

① 使用环境 : 带宽受限 , 外部有噪声干扰 ;

② 针对问题 : 在外部干扰下 , 为 信息传输速率 设置上限 ;

非理想状态下信道的极限传输速率 = $Wlo{g}_2(1+S/N)$ 比特 / 秒 ;

提高数据传输速率 :

• 提高带宽
• 提高信噪比

九、“奈氏准则” 与 “香农定理” 计算示例

计算 信息极限传输速率 :

• 如果给了 码元信息个数 , 就用奈氏准则计算 ;
• 如果给了 信噪比 , 就用 香农定理公式计算 ;
• 如果 码元信息量 和 信噪比都给出来 , 那么计算两个 数据传输速率 , 取最小值 ;

二进制信号 , 在信噪比 $127:1$ 的 $4000Hz$ 的信道上传输 , 求 最大数据率 $?$

上述给出了 码元信息量 , 二进制码元 , 因此可以使用 奈氏准则 求 数据极限传输速率 :

$2Wlo{g}_{2}V=2\times 4000\times lo{g}_{2}2=8000b/s$

上述还给出了 信噪比 $127:1$ , 这是一个数值 , 没有单位 , 因此该值是 $S/N$ , 可以直接在香农定理中使用 ; 计算过程如下 :

$Wlo{g}_2(1+S/N)=4000\times lo{g}_2(1+127/1)=4000\times 7=28000b/s$

上述计算的两个 极限传输速率 取最小值 , 即 $8000b/s$ ;

最后

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