计算机中数据信息的表示

• 真值：真值可以理解为一个值本身真正的值

• 机器码：一个值在计算机中的二进制表示形式，具体有原码 $[x{]}_{原}$、反码 $[x{]}_{反}$、补码 $[x{]}_{补}$、移码 $[x{]}_{移}$ 这些形式

进制表示

一般书写可以在数值右下方注上基数 n 表示 n 进制

????例子

${(3235119104)}_{10}={(11000000110101000000000000000000)}_2＝{(C0D40000)}_{16}$

一般书写也可以在数值末尾增添后缀表示该数值的进制

• B：二进制（binary）
• H：十六进制（hexadecimal）
• D：十进制（decimal）
• O：八进制（octal）

????例子

$(3235119104)D=(11000000110101000000000000000000)B＝(C0D40000)H$

在C语言中，通过添加前缀表示数值的进制

• 0b 或 0B：二进制（binary）
• 0x 或 0X：十六进制（hexadecimal）
• 0：八进制（octal）

????例子

$3235119104=0b11000000110101000000000000000000＝0xC0D40000$

进制转换

十进制整数转换为二进制整数

"除 2 取余，逆序排列"法

十进制小数转换为二进制小数

"乘 2 取整，顺序排列"法

定点数表示

无符号数

通常只有无符号整数，没有无符号小数

????注释

如 C 语言就没有 unsigned float, unsigned double

$n$ 位无符号数表示范围为 $[0,2^n-1]$

有符号数的定点表示

真值 $x$ 可以用原码 $[x{]}_{原}$、反码 $[x{]}_{反}$、补码 $[x{]}_{补}$ 表示其对应的定点整数和定点小数

还可用移码 $[x{]}_{移}$ 表示定点整数

原码

原码由符号位和数值位（尾数）构成

• 符号位用”0/1“对应”正/负“
• 尾数表示真值的二进制绝对值

• $n+1$ 位整数原码表示范围为 $[-(2^n-1),2^n-1]$
• 真值 0 有 +0 和 -0 两种形式（$[+0{]}_{原}=00000000,[-0{]}_{原}=10000000$）

反码

• 正数的反码就是原码
• 负数的反码则是在原码的基础上，符号位不动，数值位全部取反

• n+1 位整数反码表示范围为 $[-(2^n-1),2^n-1]$
• 真值 0 有 +0 和 -0 两种形式（$[+0{]}_{原}=01111111,[-0{]}_{原}=11111111$）

补码

• 正数的补码就是原码
• 负数的补码为反码 +1

• n+1 位整数补码表示范围为 $[-2^n,2^n-1]$
• 真值 0 的 +0 和 -0 都是一种形式（$[+0{]}_{补}=[-0{]}_{补}=00000000$）
• 规定定点整数补码 $[x{]}_{补}=10000000$ 表示 $x$ 真值为 $2^{-7}$
• 规定定点小数补码 $[x{]}_{补}=1.0000000$ 表示 $x$ 真值为 $-1$

移码

补码的基础上将符号位取反

只能用于表示整数

计算定点小数真值的技巧

如补码 1.1001 对应真值 $-0.0111B=-(2^{-2}D+2^{-3}D+2^{-4}D)$

但也可以理解为 -111B 右移 4 位，即$-111B=\frac{7}{2^4}D=\frac{7}{16}D$

运算

移位

逻辑左移：整体左移，右边补 0

逻辑右移：整体右移，左边补 0

算术左移：整体左移，右边补 0

算数右移：整体右移，左边补和符号位一样的值

• 算术左移和算术右移主要用来进行有符号数的倍增、减半
• 逻辑左移和逻辑右移主要用来进行无符号数的倍增、减半

$$\begin{gathered} {[A+B]}_{补}={[A]}_{补}+{[B]}_{补} \\ {[A-B]}_{补}={[A]}_{补}+{[-B]}_{补} \\ {[-B]}_{补}：{[B]}_{补}连同符号位一起取反+1 \end{gathered}$$

判断溢出

双符号位补码：模 4 补码

单符号位补码：模 2 补码

单符号位判断

$V=A_S{B}_s\overline{S_S}+\overline{A_S}\overline{B_S}{S}_S$

A 符号位 $A_S$，B 符号位 $B_S$，运算结果为 $S_S$

V=0 表示无溢出

V=1 表示有溢出

双符号位判断

正数补码符号位负数补码符号位是 11

01 是上溢，10 是下溢

补码一位乘法

浮点数表示

浮点数由阶码 E（Exponent）和尾数 M（Mantissa）构成

阶码 E 是定点整数，尾数 M 是定点小数，相当于用两个定点数表示一个浮点数

• 阶码 E 反应浮点数表示范围以及小数点实际位置
• 尾数 M 的数值部分的位数反映浮点数的精度

浮点数的真值 $N=M\times r^E$，r 是阶码的底，一般为 2

• 阶码通常用移码或补码表示
• 尾数通常用原码或补码表示

浮点数的规格化

规定尾数最高数位必须是一个有效值

规格化的尾数十进制真值的范围为 $0.25\le M\le 1$

IEEE754 标准

数据类型及存储规定

• +0：所有的数据位都是 0
• -0：最高位为1，其它的数据位是 0
• 正/负无穷大:：符号位为 0/1，阶码位全为 1，有效数字全为 0
• NaN(Not A Number):：非法的浮点数，阶码位全为 1，有效数字不全为 0

特殊数据的相关计算规定

• 无穷大+任何数=无穷大
• 任何有限数÷0=无穷大
• 任何有限数÷无穷大=0
• 无穷大÷无穷大=NaN

最值

C语言变量类型

C语言中没有定点小数相关的变量类型

以下是不同变量类型在不同位机下所占的大小（单位为字节）

可通过在数值末尾添加后缀表示该数值的变量类型，对应关系如下

最后

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