【PKUWC2018】猎人杀题目描述题目分析代码实现

题目描述

题目分析

设(W=sumlimits_{i=1}^nw_i)，(A=sumlimits_{i=1}^nw_i[i is alive])，(P_i)为下一个打中(i)的概率。

如果开枪打中了已经死亡的猎人，我们可以视作再开一枪，这样就不会产生影响，因此有
[ begin{split} P_i&=frac{W-A}{W}P_i+frac{w_i}W\ 移项得 P_i&=frac{w_i}{A} end{split} ]

考虑容斥，枚举(S)，强制(|S|)个人在(1)后被射杀，其他随意，

所以可以视作打中其他人与打中死亡的猎人等价，可以再开一枪，

因此，(1)号猎人在其他(|S|)个猎人前被射杀的概率为(P_1)
[ begin{split} ans&=sum_S(-1)^{|S|}P_1\ &=sum_{S}(-1)^{|S|}frac{w_1}{w_1+sum_w_S}\ &=w_1sum_{S}(-1)^{|S|}frac{1}{w_1+sum_w_S} end{split} ]

考虑生成函数，后面的和式等价于
[ sum_{i=2}^n(1-x^{w_i}) ]

用分治+NTT求出，第(i)项的指数为(sum_w_S)，系数为满足这个(sum)的容斥系数和。

若生成函数为(sumlimits_{i=0}^infty a_ix^i)，则
[ ans=sum_{i=0}^infty a_icdot frac{w_1}{w_1+i} ]

代码实现

#include<iostream>
#include<cstring>
#include<cmath>
#include<algorithm>
#include<cstdio>
#include<iomanip>
#include<cstdlib>
#define MAXN 0x7fffffff
typedef long long LL;
const int N=400005,mod=998244353;
using namespace std;
inline int Getint(){register int x=0,f=1;register char ch=getchar();while(!isdigit(ch)){if(ch=='-')f=-1;ch=getchar();}while(isdigit(ch)){x=x*10+ch-'0';ch=getchar();}return x*f;}
int ksm(int x,int k){
int ret=1;
while(k){
if(k&1)ret=(LL)ret*x%mod;
x=(LL)x*x%mod,k>>=1;
}
return ret;
}
int rev[N];
void NTT(int *a,int x,int K){
int n=(1<<x);
for(int i=0;i<n;i++)if(i<rev[i])swap(a[i],a[rev[i]]);
for(int i=1;i<n;i<<=1){
int tmp=i<<1,wn=ksm(3,(mod-1)/tmp);
if(K==-1)wn=ksm(wn,mod-2);
for(int j=0;j<n;j+=tmp){
int w=1;
for(int k=0;k<i;k++,w=(LL)w*wn%mod){
int x=a[j+k],y=(LL)w*a[i+j+k]%mod;
a[j+k]=(x+y)%mod;a[i+j+k]=(x-y+mod)%mod;
}
}
}
if(K==-1){
int inv=ksm(n,mod-2);
for(int i=0;i<n;i++)a[i]=(LL)a[i]*inv%mod;
}
}
int w[N],sum[N];
void Binary(int *a,int l,int r){
if(l==r)return a[0]=1,a[w[l]]=mod-1,void();
int mid=l+r>>1;
int f[N],g[N];
memset(f,0,(sum[r]-sum[l-1]+1)<<3),memset(g,0,(sum[r]-sum[l-1]+1)<<3);
Binary(f,l,mid),Binary(g,mid+1,r);
int x=ceil(log2(sum[r]-sum[l-1]+2));
for(int i=0;i<(1<<x);i++)rev[i]=(rev[i>>1]>>1)|((i&1)<<x-1);
NTT(f,x,1),NTT(g,x,1);
for(int i=0;i<(1<<x);i++)a[i]=(LL)f[i]*g[i]%mod;
NTT(a,x,-1);
}
int a[N];
int main(){
int n=Getint(),t=Getint();
if(n==1)cout<<1,exit(0);n--;
for(int i=1;i<=n;i++)w[i]=Getint(),sum[i]=sum[i-1]+w[i];
Binary(a,1,n);
int ans=0;
for(int i=0;i<=sum[n];i++)
ans=(ans+(LL)a[i]*t%mod*ksm(t+i,mod-2)%mod)%mod;
cout<<ans;
return 0;
}