【中学】大家一起做游戏

幼儿园的小朋友们刚学习了如何数数，阿姨在下课时组织大家一起玩游戏。规则如下：所有的小朋友绕成一圈，顺序排号，从第一个小朋友开始报数，凡是报到固定数字（例如5）的，都退出该游戏，直到只剩下一位小朋友游戏才中止。
每个小朋友都希望自己能有更多的练习数数的机会，所以都希望成为最终被留下的那位。
现在，请大家帮小朋友们计算一下，在第一次排号的时候排到第几位才能成为最终被留下的小朋友。

输入：

小朋友的个数（<=50） 要被练习的数字

输出：

最终被留下的小朋友的序号

样例：

思路

我们最直接想到的就是用一个数组模拟小朋友，则数组下标为小朋友序号，对应的值表示小朋友的死活，然后通过模拟得出最后剩下的小朋友

代码1

这段代码来自我的一位同学（找不到我自己最开始写的了，已授权）

#include<stdio.h>

int main(){
	int a[99],b[99],i=0,j=0,m=0,n=0,x=0,y=0;
	scanf("%d %d",&m,&n);
	while(i<m){
		a[i]=i+1,i++;
	}
	while(j<n){
		b[j]=j+1,j++;
	}
	i=0,j=0;
	while(x!=m-1)
	{
		while(i<m)
		{
			if(a[i]!=0)
			{
				a[i]=b[j];
				if(a[i]==n)
				{
					a[i]=0,j=0,i++,x++;
				}
				else{
					y=i,i++,j++;
				}
			}
			else{
				i=i+1;
			}
		}
		i=0;	
	}
	printf("The left child is NO %d.n",y+1);
	return 0;
} 

同学们可以试着阅读一下
这段代码里使用数组a模拟小朋友，数组b模拟要数的数字，整个逻辑是没问题的，但最后却失败了，因为超时
那我们就来看看是哪些部分影响了复杂度

首先，就是开头的两个循环

while(i<m){
		a[i]=i+1,i++;
	}
	while(j<n){
		b[j]=j+1,j++;
	}

本意是想要初始化数组，但从整体考虑未免有些多余：

• 一是纵览整段代码，b的存在完全可以用一个计数器代替
• 二是数组a完全可以使用下标作为小朋友的序号，而不用依次赋值，并且所赋的值也没有在后续的代码中表现出应有的作用
• 三是，既然数组初始化值全为0，那不妨就将0作为小朋友的“活”，不一定要按照经验1“活”0“死”

其次，我们看到这段代码用了两层循环来模拟圆环，但实际上我们可以通过计数器加条件判断将这个循环减少到一层

将上述问题修改后，我们得到

代码2

#include <stdio.h> 
main()
{
	int a[51] = { 0 };
	int boy, num, death = 0, i, num_ = 0;
	scanf("%d%d", &boy, &num);
	for (i = 1; death != boy; i++)
	{
		if (i > boy) i = 1;
		if (a[i] == 0) num_++;
		if (num_ == num)
		{
			num_ = 0;
			a[i] = 1;
			death++;
		}
	}
	printf("The left child is NO %d.n", i - 1);
}

这次看起来就简洁很多了，测试也可以完美通过

课外思考

我们之前说过，对于这类问题可以先尝试优化数学模型，那道题是否也可以呢？
答案是肯定的，这道题其实就是“约瑟夫问题”，可以使用递归算法：

m 个小朋友，数字为 n ，先报一次数，报到 n 的小朋友（序号一定是 n%m ）拉出去毙了 退出游戏，此时还剩下 m-1 个小朋友
这不就相当于 m-1 个小朋友，数字为 n，求最后剩下的序号吗，只不过我们要对序号作一些变换，原来序号是 n%m+1 的小朋友，现在的新序号是1，原来序号是 n%m-1 的小朋友现在序号是 m-1 ，也就是：

观察规律可以得到 x = ( x’ + n - 1 ) % m + 1
我们假设F(m)为m个小朋友时的答案，则 F(m) = ( F(m-1) + n - 1 ) % m + 1
详细过程可以参考 这或许是你能找到的最详细约瑟夫环数学推导！ - 负雪明烛的文章 - 知乎
这篇文章也提供了C语言的解法，同学们可以看看和我的有什么不同

代码

#include <stdio.h>
int FF(int x, int y)
{
    if (x == 1) return x;
    else return (FF(x - 1, y) + y - 1) % x + 1;
}
int main()
{
    int boy, num;
    scanf("%d%d", &boy, &num);
    printf("The left child is NO %d.n", FF(boy, num));
}

事实上，递归的次数是固定的，所以我们还可以写成

#include <stdio.h>

int main()
{
    int boy, num, f = 1;
    scanf("%d%d", &boy, &num);
    for (int i = 2; i <= boy; i++)
    {
        f = (f + num - 1) % i + 1;
    }
    printf("The left child is NO %d.n", f);
}

最后

以上就是专注母鸡为你收集整理的【中学】大家一起做游戏 - 约瑟夫问题【中学】大家一起做游戏的全部内容，希望文章能够帮你解决【中学】大家一起做游戏 - 约瑟夫问题【中学】大家一起做游戏所遇到的程序开发问题。

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