第四章 决策树

算法原理

逻辑角度

if-else的组合

集合角度

根据某种准则划分特征空间

信息熵

自信息

$$I(X)=-lo{g}_{b}p(x)$$

当b=2时单位为bit，当b=e时单位为nat

信息熵（自信息的期望）

度量随机变量X的不确定性，信息熵越大越不确定
$$H(X)=\mathbb{E}[I(X)]=-\sum _{x}p(x)lo{g}_{b}p(x)$$
当X取的某个值概率为1时信息熵最小，值为0.

当X各取值概率均等时信息熵最大，值为$lo{g}_{b}X$

假定当前样本集合$D$ 中第$k$类样本所站比例为$p_k(k=1,2,...,|y|)$ ,则$D$的信息熵定义为：
$$Ent(D)=-\sum _{k=1}^{|y|}{p}_{k}lo{g}_2{p}_k$$
$Ent(D)$的值越小，则D纯度越高

条件熵（Y的信息熵关于概率X的期望）

在已知X后Y的不确定性
$$H(Y|X)=\sum _{x}p(X)H(Y|X=x)$$
假定离散属性 个可能的取值$a$有$V$个可能的取值 { a 1 , a 1 , . . . , a V } {a^1,a^1,...,a^V} {a1,a1,...,aV}，$D^v$表示属性$a$取值为 a v ∈ { a 1 , a 1 , . . . , a V } a^vin{a^1,a^1,...,a^V} av∈{a1,a1,...,aV} 的样本集合，$\frac{|D^v|}{D}$表示占比，那么在已知属性$a$的取值后，样本集合$D$的条件熵为
$$-\sum _{v=1}^V\frac{|D^v|}{D}Ent(D^v)$$

信息增益

信息熵-条件熵
$$Gain(D,a)=Ent(D)-\sum _{v=1}^V\frac{|D^v|}{D}Ent(D^v)$$

ID3决策树

以信息增益为准则来划分属性的决策树
$$a_{\ast }=\underset{a\in A}{\mathrm{argmax}}Gain(D,a)$$

C4.5决策树

由于信息增益准则对可能取值数目较多的属性有所偏好，为减少这种偏好带来的不利营销，C4.5使用’‘增益率’‘代替’‘信息增益’‘

增益率

$$Gai{n}_{r}atio(D,a)=\frac{Gain(D,a)}{IV(a)}$$

其中
$$IV(a)=-\sum _{v=1}^V\frac{|D^v|}{|D|}lo{g}_2\frac{|D^v|}{|D|}$$
但增益率对取值数目较少的属性有所偏好。

因此，C4.5采样启发式的方法，先选出信息熵高于平均水平的属性，再从中选择增益率最高的。

CART决策树

基尼值

从样本集合随机抽两个样本，其类别标记不一致的概率。
$$\begin{gathered} Gini(D)=\sum _{k=1}^{|y|}\sum _{k^{{}^{\prime }}\ne k}{p}_k{p}_{k^{{}^{\prime }}} \\ =\sum _{k=1}^{|y|}{p}_k(1-p_k) \\ =1-\sum _{k=1}^{|y|}{p}_k^2 \end{gathered}$$

基尼指数

​ Gini_index$(D,q)=-{\sum }_{v=1}^V\frac{|D^v|}{|D|}$Gini$(D^v)$

剪枝

预剪枝

计算每次分裂在验证集的准确性是否有提升，当不再提升或有所下降时，停止生长。

优点

思想简单，算法高效，采用了贪心的思想，适合大规模问题。

缺点

提前停止生长，有可能存在欠拟合的风险

后剪枝

将树上的每个节点都作为剪枝的候选对象，通过如下步骤进行剪枝操作：
step1：删除以此节点为根节点的树，
step2：使其成为叶子结点，赋予该节点最常见的分类
step3：对比删除前和删除后的性能是否有所提升，如果有则进行删除，没有则保留

连续值与缺失值处理

连续值

将连续数据按从小到大排序，以步长n从左到右移动，分割线左边为类别1，分割线右边为类别2，分别计算每次的信息增益。选取信息增益最大的为划分节点。

缺失值

通过无缺失值项的数据计算数据集的熵，依次计算每一个特征的熵值(去掉缺失值项计算)并计算信息增益，在信息增益前乘以一个比例(无缺失值条数/总数据量)得到最终信息增益。选择信息增益最大的一个特征进行决策树构造，缺失值数据分别以(选取特征中，未缺失数据量/总数据量)的比例进入每一个子结点。

参考
周志华，机器学习，清华大学出版社，2016
https://www.bilibili.com/video/BV1Mh411e7VU?p=6&spm_id_from=333.1007.top_right_bar_window_history.content.click&vd_source=ae6a9270751fdffac8724e71e288e0ec
《机器学习公式详解》

最后

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