s型函数

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我是靠谱客的博主无语朋友，最近开发中收集的这篇文章主要介绍s型函数，觉得挺不错的，现在分享给大家，希望可以做个参考。

概述

性质1：导数最大值的求解

$f(x)=frac{A}{1+e^{a-bx}}$
对 $f (x)$ 求导的 $frac{df}{dx}=frac{Abe^{a-bx}}{(e^{a-bx}+1)^2}=frac{Ab}{[(e^{a-bx})^frac{1}{2}+(e^{a-bx})^{-frac{1}{2}}]^2}$
由 $(e^{a-bx})^{frac{1}{2}}ge0$ 和 $(e^{a-bx})^{-frac{1}{2}}ge0$ 可以满足以下条件:
$(e^{a-bx})^{1/2}+（e^{a-bx})^{-1/2}ge sqrt{(e^{a-bx})^{1/2}times(e^{a-bx})^{-1/2}}=2$ 当 $e^{a-bx})^{1/2}=(e^{a-bx})^{-1/2}$ 时取得 $" = "$
所以 $e^{a-bx})^{1/2}+(e^{a-bx})^{-1/2}$ 最小值为 $2$
$f'(x)=frac{Ab}{[(e^{a-bx})^{1/2}+(e^{a-bx})^{-1/2}]}leq{ frac{Ab}{4}}$

性质2：中心对称的证明

关于点 $x_0,y_0)$ 中心对称函数满足性质 $f(x_0+x)+f(x_0-x)=2y_0$
假设 $s$ 型函数的中心对称，且关于点 $( a b , A 2 ) (frac{a}{b},frac{A}{2})$ 中心对称则满足
$f(frac{a}{b}+x)+f(frac{a}{b}-x)=frac{A}{1+e^{-bx}}=A……（1）$
易得
$f(frac{a}{b}+x)+frac{A}{1+e^{a-b(frac{a}{b}+x)}}=frac{A}{1+e^{-bx}}=frac{Ae^{bx}}{1+e^{bx}}……(2)$
$f(frac{a}{b}-x)+frac{A}{1+e^{a-b(frac{a}{b}-x)}}=frac{A}{1+e^{bx}}……（3）$
由（2）和（3）式子的（1）式成立
既：s型函数关于点 $( a b , A 2 ) (frac{a}{b},frac{A}{2})$ 对称