GNN原始定义

传统的深度学习方法在提取欧氏空间的数据集上取得了巨大的成功，特别是像计算机视觉这类技术。传统的深度学习中，我们认为数据点之间没有显式的联系，但许多实际应用场景中的数据是非欧式的，也就是说，数据对象之间存在某种关系，如社交网络、交通网络等。这类数据其实可以看作一种图结构，传统的深度学习技术很难直接处理这类数据。主要有以下原因：

• 因为图是不规则的，每个图都有一个大小可变的无序节点，图中的每个节点都有不同数量的相邻节点，导致一些重要的操作（例如卷积）在图像（Image）上很容易计算，但不再适合直接用于图。
• 此外，现有深度学习算法的一个核心假设是数据样本之间彼此独立。然而，对于图来说，情况并非如此，图中的每个数据样本（节点）都会有边与图中其他实数据样本（节点）相关，这些信息可用于捕获实例之间的相互依赖关系。比如，化学中分子之间连接、社交网络中的朋友关系、知识图谱中实体与实体之间的关系、推荐系统中用户与项目之间的交互。

传统的深度学习技术通常将这种数据处理成欧式数据，然后作为模型的输入，这会造成信息的损失。因此，借助这些因素的推动，图神经网络（GNNs）应运而生。由于GNNs可以直接处理图网络数据，以及可以学习图的拓扑结构，因此它在处理结构化数据时显示出的强大传播能力和表达能力。
其实，GNN的概念最早可以追述到2005年。如图，在一个图中，每个节点都是由其特征和关联节点的特征定义的。其公式描述如下：

注意，$x_n$ 是节点 $n$ 的状态，相当于聚合后的邻域嵌入表示，不是节点 $n$ 的嵌入表示。GNN的目标是学习嵌入状态 $x_n\in R^s$，该状态包含每个节点的邻域信息。状态嵌入 $x_n$ 是节点 $n$ 的 $s$ 维向量，可以用来产生输出 $o_n$，如节点标签。设 $f$ 为参数函数，称为局部转移函数，该函数在所有节点之间共享，并根据输入邻域更新节点状态。$g$ 是局部输出函数，描述如何输出。
上式可以进一步表示为：

其中，$t$ 表示迭代次数。

• GNN存在一个问题就是计算效率非常低，因为要想让图中节点稳定下来，需要耗费大量的计算资源，比如对于。
• 另一个问题就是在迭代过程中，使用相同的参数，没有神经网络倡导的提取层次特征的概念。

因此，一些研究学者开始研究图的卷积操作，这可以追溯到2014年。根据欧式空间的卷积操作，尝试定义图卷积操作。

GCN

图卷积操作可以定义为：

$F$ 表示傅里叶变换。

其中，$x$ 表示节点特征向量，$g$ 表示卷积核，$U$ 是归一化图拉普拉斯矩阵 $L$ 的特征矩阵，即：

$\bigwedge$ 是 $L$ 的全部特征值组成的对角矩阵，图拉普拉斯矩阵 $L$ 定义为：



$\tilde{A}=A+I$，即添加了自连接，如果只有 $A$，在与特征矩阵 $X$ 相乘时只计算了节点邻居特征之和，而忽略了自己的特征；如果 $A$ 不经过归一化处理，与特征矩阵相乘会改变特征原本的分布。让A的每一行加起来等于1，可以乘以一个 $D$ 的逆，即$D^{(-1)}A$。将 $D$ 拆开再与 $A$ 相乘，可以得到一个对称且归一化的矩阵。 ${\tilde{D}}^{(-1/2)}\tilde{A}{\tilde{D}}^{(-1/2)}$ 为对称标准化拉普拉斯算子，该算子还可以被随机游走标准化拉普拉斯算子 ${\tilde{D}}^{(-1)}A$ 取代。

GraphSAGE

图卷积网络（GCN）分为两类：基于频域的GCN和基于空域的GCN。基于频域的GCN的基本思想是基于图信号处理的技术引入一种特殊的滤波器，以此来定义图卷积操作。基于空域的GCN通过信息传播来定义图卷积，从图的空间结构上进行计算。这种方式与欧式空间深度学习定义的卷积操作类似，其核心在于聚合邻居结点的信息。一种最简单的无参数的卷积方式可以是：将所有直连邻居结点的隐藏状态加和，来更新当前结点的隐藏状态。

进一步，空域卷积的形式化框架如下，它将空域卷积分解为两个过程：消息传递与状态更新操作。

后来，有研究学者提出一种归纳式图卷积方法——GraphSage。区别于传统的全图卷积，GraphSage利用采样(Sample)部分节点（保持固定的邻居）的方式进行学习。GraphSage的核心是采样和聚合。训练一组聚合函数（也就是网络参数，聚合的方式肯定是已知的），学习从节点的本地邻域聚合特征信息。假设GraphSage已经学习到了模型参数，则可以将嵌入生成描述为：

GAT

多头注意力机制：计算多次注意力机制，更好的学习两节点的相关性。

GCN(1stChebNet)、GraphSAGE和GAT对比

谱域GCN和空域GCN对比

谱域GCN

优点：

• 基于频谱的gcn有很好的理论基础，可以根据不同的信号滤波器设计不同的gcn。

缺点：

• 将整个图加载到内存中进行卷积，这对于大图形转换工作模式来说效率很低。
• 直推式工作模式

空域GCN

优点：

• 在一些技术的支持下，具有处理大图的潜力，如批处理模式训练和采样等。
• 归纳式工作模式

缺点：

• 没有严格的数学推荐

GCN和GraphSAGE对比

• GCN需要将整个图（邻接矩阵）输入进去，GraphSage不用输入整个图的拓扑结构，可以批量处理（minibatch）；
• GCN是直推式的方法，GraphSage是归纳式的方法，可以处理unseen node；
• GCN聚合了每个邻居的信息，GraphSage采样固定数量的邻居；
• GCN的输入有节点编号列表、节点特征、邻接矩阵，而GraphSage的输入包括三个部分，节点编号列表、每个节点的邻居列表、节点的特征表示矩阵；
• GraphSage的损失函数鼓励邻近节点的表征相似，不连接的节点表征不同。
• GCN表面看起来是谱域方法，其实也是一种空域方法，GraphSage、GAT是空域方法；

补充

• 改变边权：GCN改变边权很简单，只需要改邻接矩阵，GraphSage改变边权或许可以参见GAT。
• 半监督任务：给定一个图，已知部分节点的label，预测图中的未知节点的label。需要已知图结构，也就是邻接矩阵。可以使用GCN、GraphSage、GAT。
• 推理学习任务：给定图的部分结构，如果一个新的节点加入，预测该节点的label；或者给定一个图，推测另一个图的节点的label。可以使用GraphSage、GAT。

最后

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