POJ3150 Cellular Automaton 矩阵的应用

啥也不说了，线性代数没学好的人伤不起，看网上的题解基本也都是来自 糯米 的，分析的很好

解析转自糯米

这题对我来说太难啦，看了报告半天才弄明白是咋回事。
高手们的解题报告相当飘逸。我来写一个造福菜鸟的。

首先来看一下Sample里的第一组数据。
1 2 2 1 2
经过一次变换之后就成了
5 5 5 5 4
它的原理就是
a0 a1 a2 a3 a4
->
(a4+a0+a1) (a0+a1+a2) (a1+a2+a3) (a2+a3+a4) (a3+a4+a0)

如果用矩阵相乘来描述，那就可以表述为1xN和NxN的矩阵相乘，结果仍为1xN矩阵
a = 1 2 2 1 2 
b = 
1 1 0 0 1
1 1 1 0 0
0 1 1 1 0
0 0 1 1 1
1 0 0 1 1
a * b = 5 5 5 5 4
所以最终结果就是：a * (b^k)

线性代数不合格的同鞋表示压力很大。。

对一个NxN矩阵求k次方，而且这个k很大，N也不小，怎么办？
所以有高手观察到了，这个矩阵长得有点特殊，可以找到一些规律：
b^1 =
[1, 1, 0, 0, 1]
[1, 1, 1, 0, 0]
[0, 1, 1, 1, 0]
[0, 0, 1, 1, 1]
[1, 0, 0, 1, 1]
b^2 =
[3, 2, 1, 1, 2]
[2, 3, 2, 1, 1]
[1, 2, 3, 2, 1]
[1, 1, 2, 3, 2]
[2, 1, 1, 2, 3]
b^3 =
[7, 6, 4, 4, 6]
[6, 7, 6, 4, 4]
[4, 6, 7, 6, 4]
[4, 4, 6, 7, 6]
[6, 4, 4, 6, 7]
b^4 =
[19, 17, 14, 14, 17]
[17, 19, 17, 14, 14]
[14, 17, 19, 17, 14]
[14, 14, 17, 19, 17]
[17, 14, 14, 17, 19]

发现神马没有。就是无论是b的几次幂，都符合A[i][j] = A[i-1][j-1]
高手说是这样推倒出来地：
““”
利用矩阵A，B具有a[i][j]=A[i-1][j-1],B[i][j]=B[i-1][j-1]（i-1<0则表示i-1+n,j-1<0则表示j-1+n）
我们可以得出矩阵C=a*b也具有这个性质
C[i][j]=sum(A[i][t]*B[t][j])=sum(A[i-1][t-1],B[t-1][j-1])=sum(A[i-1][t],B[t][j-1])=C[i-1][j-1] 
“”“

这样就可以开一个N大小的数组来存放每次计算的结果了。而没必要用NxN。
N的问题解决了，但是k还是很大，怎么办？

这时候可以用二分法来求b^k
b^k = b^1 * b^4 * b^16 。。。

计算过程中，必定会出现数字大于M的情况。
切记 x*y = (x%M)*(y%M)

最后，经过多次优化，这题的代码居然被高手写成了如下的一小坨，实在是。。给力哇

我的代码：

#include<iostream>
#include<cstdio>
#include<list>
#include<algorithm>
#include<cstring>
#include<string>
#include<queue>
#include<stack>
#include<map>
#include<vector>
#include<cmath>
#include<memory.h>
#include<set>

#define ll long long
#define LL __int64
#define eps 1e-8

//const ll INF=9999999999999;

#define inf 0xfffffff

using namespace std;

//vector<pair<int,int> > G;
//typedef pair<int,int> P;
//vector<pair<int,int>> ::iterator iter;
//
//map<ll,int>mp;
//map<ll,int>::iterator p;
//
//vector<int>G[30012];

int n,m,d,k;

LL a[1012],b[1012];

void clear()
{
	memset(a,0,sizeof(a));
	memset(b,0,sizeof(b));
}

void Matrixmulti(ll *a,ll *b)
{
	ll c[1012];
	memset(c,0,sizeof(c));
	for(int i=0;i<n;i++)
		for(int j=0;j<n;j++)
			c[i]+=a[j]*b[i>=j?(i-j):(n+i-j)];
	for(int i=0;i<n;)
		b[i]=c[i++]%m;//注意范围可能会超，所以每一步取个模
}

int main(void)
{
	while(scanf("%d %d %d %d",&n,&m,&d,&k)==4)
	{
		clear();
		for(int i=0;i<n;i++)
			scanf("%I64d",&a[i]);
		b[0]=1;
		for(int i=1;i<=d;i++)
			b[i]=b[n-i]=1;
		while(k)//相当于快速幂过程
		{
			if(k&1)
			{
				Matrixmulti(b,a);
				k--;
			}
			else
			{
				Matrixmulti(b,b);
				k>>=1;
			}
		}
		for(int i=0;i<n-1;i++)
			printf("%I64d ",a[i]);
		printf("%I64dn",a[n-1]);
	}
}

最后

以上就是兴奋含羞草为你收集整理的POJ3150 Cellular Automaton 矩阵的应用的全部内容，希望文章能够帮你解决POJ3150 Cellular Automaton 矩阵的应用所遇到的程序开发问题。

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