数字一阶低通滤波器立体解析

1. 一阶惯性环节

一个独立储能元件和一个耗能元件的组合，就可以构成一个惯性环节。

下图就是一个常见的电路，一阶滤波电路，也可以叫一阶惯性环节，为什么叫一阶惯性环节呢？ 是因为当输入信号发生突变的时候，输出信号不能突变，只能按照指数规律逐渐变化，是不是像物理学中的惯性，所以称为惯性环节。

图1： RC滤波电路

一阶惯性环节微分方程

图2

2. 一阶滤波器带宽

一阶低通滤波器带宽

matlab 仿真

令1/2PIRC = 100, 即设计一阶低通滤波器的带宽为100，即RC = 1/(200*pi)

（1）输入幅度为1，频率为10Hz的正弦波，输入输出波形如下图

黄色波形为输出波形。可以看出来输出波形稍微有点滞后于输入波形。

(2) 输入幅度为1，频率为50Hz的，正弦波。 输出波形 如下图。

(3) 输入幅度为1，频率为100Hz的，正弦波。 输出波形 如下图

输入一个阶跃信号

上升时间大约为9.922ms

把一阶低通滤波器的带宽改为200，再次输入阶跃信号。输出如下图

上升时间为5ms。从上述的实验可以得一个结论，一阶惯性环节阶跃信号输出响应，对应的信号上升时间可以用来反向计算一阶滤波器的带宽。

3. 数字一阶低通滤波器

这里采用后向差分的方法对模拟一阶滤波器进行离散化

把5.4代入上述的传递函数，可以得到

两边同时除以RC+T

令a = T/(RC+T)得到

令k = k+1得到

也可以写成这种形式

我想大部分初学者会想，这个a和一阶低通滤波器的带宽有什么关系，由前面的计算中可以知道

a = T/(RC+T)， 模拟一阶滤波器中 带宽为

我猜想模拟一阶滤波器和数字一阶滤波器 带宽公式应该是一样的。稍后我会通过matlab仿真来验证

设计数字一阶低通滤波器的带宽为200Hz，计算频率为10Khz，也就是T = 0.0001s。通过下图的公式

代入参数可以计算得到a = 0.1116

通过matlab仿真反向验证实际带宽是否和设计带宽一致。

数字一阶低通滤波器matlab仿真

输入一个幅值为1，频率为100Hz的正弦波。输入输出波形如下图所示

输入一个幅值为1，频率为200Hz的正弦波。输入输出波形如下图所示

通过以上的实验可以基本判断数字一阶低通滤波器带宽设置没问题。

总结：

1. 模拟一阶低通滤波器的带宽设置方法和数字一阶滤波器是一样的
2. 有些场合需要注意一阶低通滤波器初始值

思考：

1.计算周期T大小会对数字滤波器产生什么样的影响？

最后

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