傅里叶变换的离散型与周期性

前言

通过傅里叶级数，即周期函数可以转换为一系列离散频率的波的叠加
以及z变换，即离散序列可以表示为频域里连续的周期函数

我们可以发现美妙的对称性
$$离散\leftrightarrow 周期$$
时域离散，则频域周期
时域周期，则频域离散
时域非离散非周期，频域非离散非周期
时域离散且周期，频域也离散且周期

两边的周期的倒数互为对方离散时候的间隔

时域的间隔用$T_S$表示，下标为s
频域的间隔用$f_1$表示，下标为1

1.连续时间与连续频率

$$\begin{gathered} X(f)={\int }_{-\infty }^{\infty }x(t)e^{-j2\pi ft}dt \\ x(t)={\int }_{-\infty }^{\infty }X(f)e^{j2\pi ft}df \end{gathered}$$

2.连续时间与离散频率

时域为周期函数 周期$T_1$
由傅里叶级数的经验，X(f)可表示为X(kf)，为第k个波的系数，且由三角函数正交性，X(kf)积分限为时域的一个周期
$$\begin{gathered} X(k{f}_1)=\frac{1}{T_1}{\int }_{T_1}x(t)e^{-j2\pi k{f}_{1}t}dt \\ x(t)=\sum _{k=-\infty }^{\infty }X(k{f}_1)e^{j2\pi k{f}_{1}t} \\ {f}_1=\frac{1}{T_1} \end{gathered}$$

3.离散时间与连续频率

即DTFT
$$\begin{gathered} X(f)=\sum _{n=-\infty }^{\infty }x(n{T}_s)e^{-j2\pi fn{T}_s} \\ x(n{T}_s)=\frac{1}{f_s}{\int }_{f_s}X(f)e^{j2\pi fn{T}_s}df \\ {f}_s=\frac{1}{T_s} \end{gathered}$$

可以看出来一些公式上的对称性了

4.离散时间与离散频率

$$X(k{f}_1)=\sum _{n=-\infty }^{\infty }x(n{T}_s)e^{-j2\pi k{f}_{1}n{T}_s}$$

$$X(k{f}_1)=\sum _{n=0}^{N-1}x(n{T}_s)e^{-j2\pi k{f}_{1}n{T}_s}$$
$$\begin{gathered} x(n{T}_s)=\frac{1}{N}\sum _{k=0}^{N-1}X(k{f}_1)e^{j2\pi k{f}_{1}n{T}_s} \\ 需要说明，这里俩公式都是从3离散时间与连续频率中导出的， \\ 提到2只是为了方便理解求和限的变化，当然也可以全从2中导出 \\ 只不过\frac{1}{N}的位置会发生变化，但这并不重要。 \\ 结合T_s{f}_1=N，可得到最终的公式，称为离散傅里叶级数。 \end{gathered}$$

最后

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