图像的谱图和图像的能量函数的构建

图像的谱图和图像的能量函数的构建

在学习图像处理之前，我们或许已经接触过信号处理，信号处理基本问题中也包括了频谱图与能量谱的概念，但是我们如何从一维信号处理的概念来扩展到二维的图像处理呢？

图像处理是典型的二维信号处理。一个二维傅里叶变换是一维傅里叶变换在每一个行扫描线和列扫描线上的傅里叶变换的叠加。傅里叶变换以前，图像是由对在连续空间（现实空间）上的采样得到一系列点的集合，我们习惯用一个二维矩阵表示空间上各点，则图像可由z=f(x,y)来表示。从物理效果看，傅里叶变换是将图像从空间域转换到频率域，其逆变换是将图像从频率域转换到空间域。即将图像的灰度分布函数变换为图像的频率分布函数，傅里叶逆变换是将图像的频率分布函数变换为灰度分布函数。

傅里叶中由三个分量编码：频率、幅值、相位描述正弦图像中的所有信息。在频域中， 图像的幅值表示了图像中最明和最暗的峰值之间的差，相位表示了相对于原始波形，这个波形的偏移量。 频率是表征图像中灰度变化剧烈程度的指标，是灰度在平面空间上的梯度。频率越大说明原始信号变化速度越快，频率越小说明原始信号越平缓。当频率为0时，表示直流信号，没有变化。因此，频率的大小反应了信号的变化快慢。高频分量解释信号的突变部分，而低频分量决定信号的整体形象。在图像处理中，频域反应了图像在空域灰度变化剧烈程度，也就是图像灰度的变化速度，或图像的梯度大小。对图像而言，图像的边缘部分是突变部分，变化较快，因此反应在频域上是高频分量；图像的噪声大部分情况下是高频部分；图像平缓变化部分则为低频分量。也就是说，傅立叶变换提供一条从空域到频率自由转换的途径来观察图像，可以将图像从灰度分布转化到频率分布上来观察图像的特征。

傅里叶频谱图上我们看到的明暗不一的亮点，图像上某一点与邻域点差异的强弱，即梯度的大小，也即该点的频率的大小（可以这么理解，图像中的低频部分指低梯度的点，高频部分相反）。一般来讲，梯度大则该点的亮度强，否则该点亮度弱。这样通过观察傅里叶变换后的频谱图，也叫功率图，我们首先就可以看出，图像的能量分布，如果频谱图中暗的点数更多，那么实际图像是比较柔和的（因为各点与邻域差异都不大，梯度相对较小），反之，如果频谱图中亮的点数多，那么实际图像一定是尖锐的，边界分明且边界两边像素差异较大的。对频谱移频到原点以后，可以看出图像的频率分布是以原点为圆心，对称分布的。对于周期性规律的干扰信号，比如正弦干扰，一副带有正弦干扰，移频到原点的频谱图上可以看出除了中心以外还存在以某一点为中心，对称分布的亮点集合，这个集合就是干扰噪音产生的，这时可以很直观的通过在该位置放置带阻滤波器消除干扰。

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图像能量函数的构建

我们知道，通过傅里叶变换得到的频谱图，也叫做功率图，从功率图中可以看出图像的能量分布。如果频谱中暗色调的点比较多，说明大多数点与其邻域的差异不大，那么图像就比较柔和。反之，图像一定是很尖锐的、边界分明的。

将频谱移频到原点以后，可以看出图像的频率分布是以原点为圆心，对称分布的。将频谱移频到圆心除了可以清晰地看出图像频率分布以外，还有一个好处，它可以分离出有周期性规律的干扰信号，比如正弦干扰，一副带有正弦干扰，移频到原点的频谱图上可以看出除了中心以外还存在以某一点为中心，对称分布的亮点集合，这个集合就是干扰噪音产生的，这时可以很直观的通过在该位置放置带阻滤波器消除干扰。

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分析：
1、图像经过二维傅立叶变换后，其变换系数矩阵表明：若变换矩阵Fn原点设在中心，其频谱能量集中分布在变换系数短阵的中心附近(图中阴影区)。若所用的二维傅立叶变换矩阵Fn的原点设在左上角，那么图像信号能量将集中在系数矩阵的四个角上。这是由二维傅立叶变换本身性质决定的。同时也表明一股图像能量集中低频区域。
2 、变换之后的图像在原点平移之前四角是低频，最亮，平移之后中间部分是低频，最亮，亮度大说明低频的能量大（幅角比较大）

最后

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