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k 近邻算法简述

k近邻算法是一种基本的分类与回归的方法，k近邻法假设给定一个训练集，其中的实例类别已定，分类时，对新的实例，根据其k个最近的训练实例的类别，通过多数表决等方式进行预测。核心思想就是：如果一个样本在特征空间中，其中k个最相邻的样本中的大多数属于某一类，则该样本也属于这一类。通俗的将就是，近朱者赤近墨者黑。
注意：k近邻与k-means的区别？k近邻是分类算法，k-means是聚类算法，一个是有监督的学习，一个是无监督的学习

k近邻模型

k近邻使用的模型实际上对应于对特征空间的划分。主要由三个要素决定：距离度量、k值的选择和分类器规则决定。
算法的主要步骤：
1、选择一种合适的距离度量，计算样本到每个测试集的距离
2、对距离进行排序，按照距离的递增进行排序，选择距离最近的k个
3、找到这k个点中，每种label出现的次数，出现次数最多的就是我们要求的

模型

k近邻模型主要是根据训练集、距离度量、k值以及分类决策规则等，将特征空间进行相应的划分。确定每个子空间里每个点的所属类。特征空间的划分如下图所示：


将一个特征空间划分为若干的子空间。

距离度量

两个点的距离可以看成两个点相似度的放映，k近邻模型的特征空间一般是$n$维实向量空间$R^n$。一般选用的都是欧式距离，也可以使用别的距离。

$$L_p(x_i,x_j)=(sum_{l=1}^{n}|x_i^{(l)}-x_j^{(l)}|^p)^frac{1}{p}$$
这里 $pgeq1$，当 $p=2$，称为欧式距离
$$L_2(x_i,x_j)=(sum_{l=1}^{n}|x_i^{(l)}-x_j^{(l)}|^2)^frac{1}{2}$$
当 $p=1$，称为曼哈顿距离
$$L_1(x_i,x_j)=sum_{l=1}^{n}|x_i^{(l)}-x_j^{(l)}|$$
不同的度量距离，所确定的最近邻的点是不同的

k值的选择

k值的选择会对k近邻算法的结果产生重大的影响。最著名的应该就是下面的这个图了：

当$k=3$时，绿色样本点取红色，当$k=5$时，绿色样本点取蓝色，在实际应用中，k值一般取一个较小的值，通常采用交叉验证来选取最优的k值

分类决策规则

k近邻中的分类决策规则往往是多数表决

kd tree

为了实现快速的k近邻搜索，我们介绍kd树方法：

构建kd tree

方法如下：
构建根节点

最后

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