FFT中频谱泄露的两种理解

FFT中频谱泄露的两种解释

    FFT运算是对有限字长数据的傅里叶分析，其中会存在频谱泄露的现象，本来功率集中的频谱会出现能量外泄，污染其他频带的信号，造成一定的性能损失，甚至整体功能失效，所以有必要了解频谱泄露产生的原因以及如何控制频谱的泄露。
    一、非周期截断引起的频谱泄露
    FFT是DFT的一种快速计算方法，而由信号与系统理论可知，有限长信号的DFT，是假设该信号为一个周期信号的片段（周期）来进行计算的，也就是说将有限长信号进行周期拓展，然后再进行周期信号的傅里叶谱计算。反过来说，这个有限长的信号是一个周期信号的部分截断，奉上一张奥本大神的图来说明。

    当这个截断的有限字长信号不是一个波形的完整周期时，会引起频谱的泄露。下面以正弦波来展示这一现象。


    通过上面的仿真图可以很明显看到，当截断的信号不是一个完整周期时，FFT变换后，其频谱在真实频点周围存在大量的杂散成分，且频点最大值有一定幅度的下降，这就是典型的频谱泄露。造成这种频谱泄露的原因，一般归结为非周期截断信号的FFT在周期拓展时，前一拓展周期的尾部数据与后一拓展周期的首部数据存在较大跳变，这产生了新的高频分量（一般远大于采样率），这些高频分量的镜像成分会混叠进有用频带内，形成杂散频率。
    二、信号矩形加窗引起的频谱泄露
    在FFT运算中，经常会使用补零FFT，这样的好处有很多，比如提高了频率分辨率，同时将FFT点数补偿为2的整数幂次，以方便进行蝶形运算。这样的补零操作也会带来一定的性能损失，因为这种补零操作，相当于对数据加了矩形窗，从而引起了频谱泄露。
    首先来说明为什么补零相当于加矩形窗。

很明显数据2就是一个矩形窗，而数据3是对数据1的一个加窗操作，其结果为[1, 2, 3, 4, 5, 0, 0, 0, 0, 0]。数据3可以有两种解释，一个是数据[1, 2, 3, 4, 5]经过补零后产生的新数据；另一个是数据1经过加窗后产生的新数据。本文主要是从加窗的角度来考虑频谱泄露的情况，仍以单正弦波为例进行展示，具体见下图




     这种频谱泄露的特点是频谱内正确频点的幅值不会有明显衰减，但在正确频点周围会出现杂散频点，且随着补零长度的增加，杂散频点数量明显增多，且与真实频点相邻的两个杂散点会随着补零长度的增加，越来越靠近真实频点。在噪声环境下，这有可能造成正确频点位置的判决出现错误。
     这种频谱泄露的原因，一般归结为矩形窗函数的影响。从时域看是信号与矩形窗的乘积，而在频域的角度则是信号频谱与矩形窗信号频谱的卷积。对于正弦信号，其频谱为对称的两个冲击函数，而矩形窗的频谱为sinc函数，则两者卷积的频谱其实就是一个经过搬移的sinc函数，可见正弦信号补零加窗后，频谱会由单频点，变为sinc函数，信号频谱扩散了，这就是频谱泄露。
    三、如何减少频谱泄露
对于有限长信号的FFT运算，很难完全消除频谱泄露，但可以减少频谱泄露的影响，使用的方法就是对信号进行人为加窗。

1. 选择的窗函数都是两侧对称衰减的凸函数，如hann窗，hamming窗，blackman窗，kaiser窗等

这样加窗后信号首尾部都衰减为0 或接近0，当进行周期扩展时，前后周期首尾相连的部分就不会存在较大的幅度跳变，这就避免了产生新的高频分量，也就不会在带内引入较大较多的镜像杂散频率了。

2. 选择的窗函数频谱必须具有较窄的主瓣和衰减较大的旁瓣。

这样的窗函数主瓣内杂散频点比较少，而旁瓣内的杂散频点由于衰减较大，一般不会影响正常的处理，这就解决了抑制频谱泄露的问题，但仅仅是减少泄露，而不是消除泄露。

3. 由于窗函数时域不是平坦的，其外侧衰减较大，信号加窗后会损失一定的功率，这是加窗的通病后遗症，为较少性能损失，一般会采用重叠加窗，或重叠选择的方法，这里就不再详述。

最后

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