Lee Hung-yi强化学习 | (5) Q-learning用于连续动作 (NAF算法)

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普通的Q-learning比policy gradient比较容易实现，但是在处理连续动作（比如方向盘要转动多少度）的时候就会显得比较吃力。

因为如果action是离散的几个动作，那就可以把这几个动作都代到Q-function去算Q-value。但是如果action是连续的，此时action就是一个vector，vector里面又都有对应的value，那就没办法穷举所有的action去算Q-value。

先介绍2种容易想到但效果不一定好的方法

1. 穷举action

这个方法sample N个action，一个一个代到Q function里，看哪个a得到的Q value最大。

缺点：即便sample 很多很多个action，还是没办法把所有的action都穷举出来（因为它是连续动作）。这样就会导致结果不那么精确。

2. 使用梯度上升求Q value

使用gradient ascent来求解，看采取什么action能让Q-function得到最大的Q value。

缺点：
1）由于使用gradient ascent，可能得到的结果只是局部的最优解。
2）每次考虑采取哪个a前，都要做一次类似于train network的工作，这个运算量太大

以上两种方法是比较容易想到，但是效果不好的方法，下面介绍一个比较好的方法

3. Normalized Advantage Functions（NAF）

设计一个新的网络来解连续动作的最优化问题。

论文地址

先给出概念如下，后面再讲具体的。

此时Q value 由状态值函数V与动作价值函数 A 相加而得。

其中 x 表示状态State，u表示动作Action，θ 是对应的网络参数，A函数可以看成动作 u 在状态 x 下的优势。我们的目的就是要使网络输出的动作 u 所对应的Q值最大。

具体来说，如下：

从buffer里sample一个batch的transition$(s_t,a_t,r_t,s_{t+1})$，新的Q function以状态$s_t$，动作$a_t$作为输入，依据输入的$s_t$得到输出$\mu (s_t)$（vector），$\Sigma (s_t)$（matrix），$V(s_t)$（scalar）

其中，在输出$\Sigma (s_t)$这个矩阵前，其实先输出了矩阵L，矩阵L是对角线都是正数的下三角矩阵。然后根据乔列斯基（Cholesky）分解，构造出最终的$\Sigma (s_t)$这个矩阵（对应上式的P矩阵）。

输入的动作a再与上面三个结果进行组合形成Q function，如下图：

a和$\mu (s)$转置后，变成1行N列；与矩阵相乘；再与a和$\mu (s)$（N行1列）相乘，最终变成一个普通的数值，即标量（scalar），再加上V(s)就是最后的Q value。另外，在状态s下要做出的action由$\mu (s)$给出。这样，NAF就实现既输出动作action，也输出这个action对应的Q value。（这时候再看一下，上图的前三项其实就是类似于文章前面公式中的A函数（优势函数）。）

接下来看如何使Q function输出的Q value达到最大值，NAF的Q function：

优势函数（advantage function）可以看成$A(s,a)=-(a-\mu (s){)}^2\times P$，又因为P矩阵在论文中有设定为是正定的矩阵,那么A就是一个小于等于0的值。

所以，理想的情况就是当$\mu (s)=a$，那么此时A函数达到最大值0，那么Q function也得到最大的Q value。

可能有人疑惑：
既然是通过$\mu (s)$输出action，那输入的action是干什么的？
输入的action 是从transition中sample的动作，是起到训练网络中的label的作用。目的是让网络输出的$\mu (s)$不偏离 a 太多并且希望最后$\mu (s)$逐点收敛于a，从而得到最大的Q value。

下图为NAF执行过程（图参考自)

NAF伪代码如下：

Normalized Advantage Functions（NAF）更多内容可参考以下博文:
https://blog.csdn.net/lipengcn/article/details/81840756
https://blog.csdn.net/u013236946/article/details/73243310
https://zhuanlan.zhihu.com/p/21609472

4. 不使用Q-learning而使用actor-critic

最后

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