多项式运算与插值

多项式的表示

$$p(x)=a_n{x}^n+a_{n-1}{x}^{n-1}+\cdots +a_0$$
MATLAB中，上述多项式以向量$p=[a_n,a_{n-1},\dots ,a_0]$的形式存储的。它的系数是按降序排列。即n次多项式用一个n+1维向量表 示，缺少的幂次项系数为0。

可以用创建向量的方式创建多项式，再将其显示为多项式。

多项式的四则运算

多项式用向量来表示， 因此多项式的四则运算 可以转化为向量的运算：

• 多项式的加减： 对应项系数的加减；（在向量的加减中, 两个向量要有相同的长度）
• 多项式的乘法：多项式系数向量之间的卷积运算，可以通 过卷积函数conv来完成
• 多项式的除法：乘法的逆运算, 可以通过反卷积deconv来 实现

多项式的其他运算

数据插值方法

插值运算是根据已有数据的分布规律, 找到一个函数表达式可以连接起已知的各点, 并用这一函数表达式 来预测已有数据两点之间任意位置上的数据。

一维插值由函数interp1实现: $y_i=interp1($$x$,$y$,$x_i$, method)
x,y分别为采用数据的x,y坐标, $x_i$为待插值的位 置,method为采用的插值方法; $y_i$为在 $x_i$各点的插值结果

插值方法method:

(nearest插值效果最差, 但计算简单省时. 其它三种方法差别不大)

x=[1 1.1 1.2 1.3 1.4]
y=[1.00000 1.23368 1.55271 1.99372 2.61170]						%x,y的值
length_x = length(x)
xi = x(1):0.05:x(length_x)
length_xi=length(xi)
y_nearest=zeros(length(xi),1)									%创建零数组
y_linear=zeros(length(xi),1)
y_spline=zeros(length(xi),1)
y_pchip=zeros(length(xi),1)
for i =1:length_xi
    y_nearest(i)=interp1(x,y,xi(i),'nearest')					%具体插值用法
    y_linear(i)=interp1(x,y,xi(i),'linear')
    y_spline(i)=interp1(x,y,xi(i),'spline')
    y_pchip(i)=interp1(x,y,xi(i),'pchip')
end    

函数操作

MATLAB提供了强大的函数操作功能, 包括函数图像 的绘制, 函数求极值和零点, 数值积分等, 这些函数 统称为”函数的函数”

函数的表示

MATLAB提供的函数表示方法:
一：利用M文件将函数定义为MATLAB函数；
二：采用匿名函数的方式。

y=@(x)exp(x)-x^5

函数文件的基本结构

以function开头的一行为引导行，表示该M文件 是一个函数文件。
当输出形参多于一个时，应该用方括号括起来
关于函数文件名 函数文件名通常由函数名再加上扩展名.m组成。 当函数文件名与函数名不同时，Matlab将忽略函数名而确认文件名. 因此调用时使用函数文件名。

数学函数图像的绘制

函数fplot可以用来绘制数学函数的图像: fplot(fun,limits)

• fun：一个函数y=f(x), 可以是MATLAB函数的M文件名, 也可以是包含变量x的字符串, 还可以是函数句柄;
• limits：用于指定绘制图像的范围. [$x_{min}$,$x_{max}$]指定x 轴的范围, [$x_{min}$,$x_{max}$,$y_{min}$,$y_{max}$]同时指定x,y轴的范围;

还可以指定线型和颜色(LineSpec),图像的相对精确度(tol),最少像点数(n).这些参数可以任意组合来控制图像的外观,如：
fplot(fun,limits,LineSpec)
fplot(fun,limits,tol)
fplot(fun,limits,tol,LineSpec)
fplot(fun,limits,n)

• 用[X,Y]=fplot(fun,limits)返回函数图形中各点的位置(一系列点的x,y值)，但是不绘制函数图像

图像线性及颜色特征

函数极值

一元函数的极小值

可以使用函数fminbnd求得函数在给定区间上的局部极小值：

-------------------------x=fminbnd(fun,x1,x2,options)-------------------------------

fun为函数句柄, $x_1,x_2$分别用于指定区间的左右边界, options用于指定程序的其他参数，用optimset实现
options的元素取值：

-------------------[x,feval,exitflag, output] =fminbnd(fun,a,b)-----------------

fval(可省)： 相应的极小值fval
exitflag(可省): 可以令函数返回程序停止的条件

output(可省),作为一个结构体，其元素如下所示：

多元函数的极小值

函数fminsearch用于计算多元函数的极小值

具体操作同上一元函数的极小值

函数的极大值

对函数进行相反数处理，转化为函数求极小值

fminbnd、fminsearch的区别

• fminbnd的输入参数为寻找最小值的区间, 并且该函 数只能用于一维函数求极值
• fminsearch亦可以用来求一维函数的极值问题,其输入参数为初始值：fminsearch(@humps,0)

函数求解

函数fzero可以用来求一元函数的零点：

数值积分

一元函数的积分

常用积分指令：quad和quadl。一般说来，quadl 比 quad 更有效。
具体调用格式如下： （quad用法和quadl一样）
q = quadl(fun,a,b)
q = quadl(fun,a,b,tol)
q = quadl(fun,a,b,tol,trace)
[q,fcnt] = quadl(fun,a,b,…)

输入量
前3个输入参数是调用积分指令所必须的，其他可以缺省

输出参数fcnt返回函数的执行次数

二重积分、三重积分

常用积分指令：dbquad和triplequad
具体调用格式如下：

• q = dbquad(fun,xmin,xmax,ymin,ymax)
• q =dbquad(fun,xmin,xmax,ymin,ymax,tol)
• q=dbquad(fun,xmin,xmax,ymin,ymax,tol,method)

含参数函数的使用

1、用嵌套函数提供函数参数

编写M文件，该文件以函数参数为输入， 然后调用函数的函数来处理含参数函数，最后把含参数函数以嵌套函 数的方式包含在M文件中。

2.用匿名函数提供函数参数

首先创建一个含参数函数，保存在M文件， 输入参数为自变量和函数参数；用含参数函数创建匿名函数；把匿名函数 的句柄传递给函数的函数进行计算。

最后

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