第四章 MATLAB的数学运算4.1 多项式与插值4.2 函数运算4.3 微分方程4.4 习题

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我是靠谱客的博主勤恳雪碧，这篇文章主要介绍第四章 MATLAB的数学运算4.1 多项式与插值4.2 函数运算4.3 微分方程4.4 习题，现在分享给大家，希望可以做个参考。

第四章 MATLAB的数学运算

4.1 多项式与插值
- 4.1.1 多项式的表示
- 4.1.2 多项式的四则运算
- - 4.1.3 多项式的其他运算
  - ==4.1.4 数据插值==
4.2 函数运算
- 4.2.1 函数的表示
- 4.2.2 绘制数学图像
- 4.2.3 求函数的极值
- - 求一员函数极小值
  - 多元函数求极值
- 4.2.4 函数求解
- 4.2.5 数值积分
- - 一元函数的积分
  - 一元函数的矢量积分
  - 二重积分和三重积分
- 含参函数
- - 嵌套函数
  - 匿名函数
4.3 微分方程
- 常微分方程的初值问题
- - 显示常微分方程
  - 完全隐式常微分方程
- 常微分方程的边值问题
4.4 习题

4.1 多项式与插值

数学运算时MATLAB的核心，其他领域的应用都以这些数学运算为基础，如矩阵运算、代数运算、解方程等等。MATLAB的强大之处正是在于其对几乎所有数学问题的解决方案。本章将介绍MATLAB的部分基础数学功能，包括多项式，线性插值，傅里叶变换和微分方程等。这些数学知识在今后的学习中会经常用到，非常重要。

4.1.1 多项式的表示

多项式在数学中有着极为重要的作用，而多项式的运算也是工程和应用中经常会遇到的问题。
在MATLAB中多项式用一个行向量表示，向量中的元素为该多项式的系数，按照降序排列。例如，多项式 $4x^3+3x^2+6x^1+9$ 可以表示为向量 $P = [4, 3, 6, 9]$ 。用户可以用创建向量的方式创建多项式，再利用poly2sym函数将其显示为多项式。

例子：

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clear all; clc;

P = [4, 3, 6, 9];
% 默认变量为x
y = poly2sym(P)

4.1.2 多项式的四则运算

使用向量来表示多项式使得多项式的四则运算变得简单，因为可以直接转换为向量的运算。
多项式的加减即为对应系数项的加减，因此可以通过向量的加减来完成。进行加减运算的两个向量需要有相同的长度，因此对低阶多项式需要补零
多项式的乘法和除法实际上是多项式系数之间的卷积和反卷积运算。MATLAB有相应的卷积函数conv和deconv。
例子：

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clear all; clc;
% polynomial operation
p1=[1 2 1];                         		%定义多项式
p2=[1 1];
length_of_p1=length(p1);
length_of_p2=length(p2);
if length_of_p1 == length_of_p2     		%判断两个多项式的长度是否相等
    p1_plus_p2 =p1+p2;              		%多项式相加
    p1_minus_p2=p1-p2;              	%多项式相减
elseif length_of_p1 < length_of_p2
        temp_p1=[zeros(length_of_p2-length_of_p1) p1];
        p1_plus_p2 =temp_p1+p2;
        p1_minus_p2=temp_p1-p2;
else
    temp_p2=[zeros(length_of_p1-length_of_p2) p2];
    p1_plus_p2 =p1+temp_p2;
    p1_minus_p2=p1-temp_p2;
end
p1_multiply_p2=conv(p1,p2);         		%多项式相乘
p1_divide_p2  =deconv(p1,p2);       		%多项式除法
p1=poly2sym(p1)                    		%显示多项式 p1
p2=poly2sym(p2)                    		%显示多项式 p2
p1_plus_p2 =poly2sym(p1_plus_p2)
p1_minus_p2=poly2sym(p1_minus_p2)
p1_multiply_p2=poly2sym(p1_multiply_p2)
p1_divide_p2  =poly2sym(p1_divide_p2)

4.1.3 多项式的其他运算

表4-1 多项式运算函数

在这里插入图片描述
这些都是多项式运算中常见的函数。下面分别简要举例介绍一下。
roots() 和 poly()

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clear all; clc;
% roots求多项式的根--注意与root的区别
A = [1 2 1];
yA = poly2sym(A)
a = roots(A)

%%
B = [1, 4, 5, 3, 6, 7];
yB = poly2sym(B)
b = roots(B)

%% 
% poly求具有特定根的多项式
A2 = poly(a)

B2 = poly(b)

%%
% poly求矩阵的特征多项式
P = magic(4);
p = poly(P);
y = poly2sym(p)
x = roots(p)

polyvar多项式求值

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clear all; clc;

% 求多项式的值
p = [4 3 2 1];
polyval(p, 4)

x = roots(p)
polyval(p, x)

%%
% 尝试用另一种方法？
syms x
y = poly2sym(p);
disp(y)
r = root(y, x);
vr = vpa(r);
disp(vr)
n = polyval(p, double(vr))

polyder多项式求导

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clear all; clc;

a = [1, 2, 1];
% x^2 + 2x + 1
ya = poly2sym(a)

b = [1, -1];
% x-1
yb = poly2sym(b)

% da
p1 = polyder(a);
dya = poly2sym(p1)

% d(ab)
p2 = polyder(a,b);
dy2 = poly2sym(p2)

% d(a/b)
[q, d] = polyder(a, b);
dy3 = poly2sym(q) / poly2sym(d)

polyfit多项式拟合
曲线拟合是工程中经常要用到的技术之一。MATLAB提供了曲线拟合工具箱和多项式拟合函数。函数polyfit给出了使用最小二乘法拟合的多项式。函数调用格式为p = polyfit(x, y, n)，其中x, y分别为要拟合数据的坐标，应该是相同长度的向量，n则是用于拟合的多项式的次数。

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x = 0 : pi/10 : 2*pi;
y = sin(x);

z = polyfit(x, y, 3);

% 画图
plot(x, y, 'r*')
hold on
f = poly2sym(z);
ezplot(f, [0, 2*pi])

4.1.4 数据插值

另一种工程上常见的问题是数据插值，即根据已知数据推断未知数据。
插值运算时根据已有数据的分布规律，找到一个可以连接起已知各点的函数表达式，并用这一函数表达式来预测处于已有数据两点之间任意位置的数据。
MATLAB提供了对数组的任意一维数据进行插值的工具，这些工具大多需要用到多维数组的操作。本节主要介绍对一维数据插值。
一维数据插值在曲线拟合和数据分析中具有重要的地位。在MATLAB中，一维数据插值主要由函数interp1来实现（即interpolation1的缩写）。该函数的调用格式为yi = interp1(x, y, xi, method)，其中x,y 为所采用的数据的坐标，均是一维向量；xi为待插值的位置，method为采用的插值方法，返回插值结果。而该函数有四种method，不同method得到的结果会有些许差异。

表4-2 插值函数中可选的方法

在这里插入图片描述
例子：

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% Interpolation using the four methods
x=[0 3 5 7 9 11 12 13 14 15];
y=[0 1.2 1.7 2.0 2.1 2.0 1.8 1.2 1.4 1.6];
length_of_x=length(x);
scalar_x=[x(1):0.5:x(length_of_x)];
length_of_sx=length(scalar_x);
for i=1:length_of_sx
    y_nearest(i)=interp1(x,y,scalar_x(i),'nearest');
    y_linear(i) =interp1(x,y,scalar_x(i),'linear');
    y_spline(i) =interp1(x,y,scalar_x(i),'spline');
    y_cubic(i) =interp1(x,y,scalar_x(i),'pchip');
end
subplot(2,2,1),plot(x,y,'*'),hold on,plot(scalar_x,y_nearest),title('method=nearest');
subplot(2,2,2),plot(x,y,'*'),hold on,plot(scalar_x,y_linear),title('method=linear');
subplot(2,2,3),plot(x,y,'*'),hold on,plot(scalar_x,y_spline),title('method=spline');
subplot(2,2,4),plot(x,y,'*'),hold on,plot(scalar_x,y_cubic),title('method= pchip ');

$*$ 最近邻插值将插值点xi的值设置为举例最近的点的对应值。
$*$ 线性插值用分段线性函数拟合已有数据，返回拟合函数在xi处的值。
$*$ 三次样条插值采用样条函数对数据拟合，并且任意两点之间的函数为三次函数。
$*$ 三次插值为一组方法，通过pchip函数对数据进行三次Hermite插值，这种方法可以保持数据的一致性和数据曲线形状。

可以看出，最近邻插值效果最差，其他三种方法差别不是很大，实际上三次插值的效果相对较好，但是运行效率更差。在实际应用中，需要根据实际情况综合考虑来选取合适的插值方法。

傅里叶插值法

MATLAB针对一维数据还有另一种方法，基于傅里叶变换的方法。这种方法将输入数据视为周期函数的采样数据，对数据进行傅里叶变换，然后对更多的点进行傅里叶变换。函数名为interpft（interpolation fourier transform），调用方式为y = interpft(x, n)，其中x为周期函数的均匀采样数据，n为待返回的数据个数。当我们对周期数据或近似周期数据进行插值时，该方法更加合适。

例子：

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clear all;clc;

x = 0:pi/5:2*pi; % 10个数据
y = sin(x);
plot(x, y);

hold on
y1 = interpft(y, 20);

x1 = linspace(0, 2*pi, 20);
plot(x1, y1, '.')

可以看出，interpft的插值效果令人满意。尤其是当我们增加数据量之后。==需要注意的是函数的输入参数n表示对输入的采样值x重新插值后返回的数据长度，因此n要大于输入的x的长度。返回的n表示在原始数据的相同采样时间内的等间距的采样数据。

外插运算

若要获得已知的数据集外的插值数据，则需要用到外插，这是比较困难的，且精度不高。MATLAB中可以通过对
interp1函数添加’extrap’参数来指明所用的插值算法，并表示需要外插运算。另一种方法是将数据集外的函数点赋值为extraval，可以赋值为Nan或者0。

例子：

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clear all; clc;

x=0:0.5:10;
y=cos(x);
x1 = linspace(0,2*pi,20);
y1=cos(x1);
y2=interp1(x,y,x1,'nearest')           %没有指定外插算法，估值都返回NaN
y2=interp1(x,y,x1,'nearest','extrap')  %指明插值算法也用于外插运算
y3=interp1(x,y,x1,'linear','extrap');
y4=interp1(x,y,x1,'spline','extrap');
y5=interp1(x,y,x1,'pchip ','extrap');
plot(x,y,x1,y1,'o',x1,y2,'-',x1,y3,'-.',x1,y4,'--',x1,y5,'*')

4.2 函数运算

函数是数学中的一个重要概念。这一节我们学习MATLAB的一些基础的函数功能。

4.2.1 函数的表示

MATLAB提供了两种表示函数的方法：一种是利用m文件将函数定义为MATLAB函数；另一种是采用匿名函数。
例子：建立函数 $frac{1}{(x-0.3)^2+0.01} + frac{1}{(x-0.9)^2+0.04} -6$
方法一：建立m文件。这是MATLAB的内置函数humps()，找到humps.m文件，打开内容如下。

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function [out1,out2] = humps(x)
%HUMPS  A function used by QUADDEMO, ZERODEMO and FPLOTDEMO.
%   Y = HUMPS(X) is a function with strong maxima near x = .3
%   and x = .9.
%
%   [X,Y] = HUMPS(X) also returns X.  With no input arguments,
%   HUMPS uses X = 0:.05:1.
%
%   Example:
%      plot(humps)
%
%   See QUADDEMO, ZERODEMO and FPLOTDEMO.

%   Copyright 1984-2014 The MathWorks, Inc.

if nargin==0
   x = 0:.05:1;
end

y = 1 ./ ((x-.3).^2 + .01) + 1 ./ ((x-.9).^2 + .04) - 6;

if nargout==2,
   out1 = x;
   out2 = y;
else
   out1 = y;
end

那我们想要调用该函数，可以通过符号"@"获取函数，如：

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fh = @humps;  % 将fh定义为humps函数
fh(1.5)

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% 当然也可以直接用humps
humps(1.5)

方法二：匿名函数，例如：

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clear all; clc;

fh = @(x) 1 ./ ((x - 0.3).^2 + 0.01) + 1 ./ ((x - 0.9).^2 + 0.04) -6;
fh(1.5)

==**需要注意的是，尽管这两种方法都得到了函数的解。但是，我们仔细阅读humps.m文件内容会发现，该函数不只有一种返回值。若我们使用[x, y] = humps(a) 的形式来调用该函数，该函数不仅会返回函数值y，还会返回变量值x。而使用匿名函数则无法实现该功能。当然，匿名函数比写脚本要更简单。因此，在实际项目中，可以根据需要确定建立函数的方法。

4.2.2 绘制数学图像

函数图像让我们能够直观的查看函数的总体特征。MATLAB提供了绘制函数图的函数fplot。我们在文档中查看一下fplot函数的使用方法。

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help flot

>>fplot - 绘制表达式或函数

    此 MATLAB 函数 在默认区间 [-5 5]（对于 x）绘制由函数 y = f(x) 定义的曲线。

    fplot(f)
    fplot(f,xinterval)
    fplot(funx,funy)
    fplot(funx,funy,tinterval)
    fplot(___,LineSpec)
    fplot(___,Name,Value)
    fplot(ax,___)
    fp = fplot(___)
    [x,y] = fplot(___)

    另请参阅 fcontour, fmesh, fplot3, fsurf, hold, title, Function Line 属性, 
        Parameterized Function Line 属性

    fplot 的参考页

以后我们会经常使用help文档来查看MATLAB内置函数的使用方法。实际上MATLAB的帮助文档是学习MATLAB的最好教材，同学们要学会利用，经常查阅。
通过帮助文档学习fplot的用法。

例子：绘制humps函数图像

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fh = @humps;

subplot(1, 2, 1), fplot(fh);
subplot(1, 2, 2), fplot(fh, [-3, 3]);

4.2.3 求函数的极值

本章介绍MATLAB求一元函数和二元函数的极值和曲线拟合方法。

求一员函数极小值

fminbnd()函数

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% 求humps函数在（0.3， 1）的极小值坐标
f = @humps;
x = fminbnd(f, 0.3, 1)

f(x)

help fminbnd 给出具体用法

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clear all; clc;
function f = scalarobjective(x)
f = 0;
for k = -10:10
    f = f + (k+1)^2*cos(k*x)*exp(-k^2/2);
end

%%
x = fminbnd(@scalarobjective,1,3)

%%
options = optimset('Display', 'iter');
x = fminbnd(@scalarobjective,1,3, options)

%%
[x, fval, exitflag, output] = fminbnd(@scalarobjective,1,3, options)

最基本的用法一般满足绝大部分需求，特殊情况需要自己设置参数。

多元函数求极值

本函数为fminsearch()。该函数内部使用Nelder-Mead单一搜索算法，通过调整各个元素的值来寻找f(x)的极小值，适用于不太平滑、难以计算梯度信息或者梯度信息价值不大的函数。
以Rosenbrock函数为例

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%创建函数
function f = banana(x)
f = 100*(x(2) - x(1)^2)^2 + (1 - x(1))^2;
end

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% 函数图像
hf = @(x,y) 100*(y-x.^2).^2+(1-x).^2
ezmesh(hf, [-1,1])

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% 搜索最小值
hf = @banana;
[x, fvalue,flag,output] = fminsearch(hf, [-2, 2])

4.2.4 函数求解

fzero()求解一元函数的零点。需要制定一个初始点或者指定一个区间。 help fzero查看用法。注意！该函数是通过查找变号的位置来作为零点，因此不能求解例如x^2的根。例子

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% 求解f(x)=logx+sinx-2在x=6附件的解。
f = @(x) log(x) + sin(x) - 2;
[x, y, exitflag, output] = fzero(f, 6)

%%
%通过函数图像查看。
fplot(f, [x-2, x+2]);
hold on
plot(x, y, 'k*')

另一个求根的方法,roots函数求解多项式的根，仅限多项式。上一节的内容。

4.2.5 数值积分

一元函数的积分

两个方法quad和quadl，区别在于算法，前者使用自适应递归Simpson方法，后者采用高阶的自适应Lobatto方法。

例子：
[q, fcnt] = quad(fun, a, b, tol, trace);
q积分值；fcnt迭代次数；fun函数；[a,b]积分区间；tol误差；trace迭代过程；

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f =@(x) sin(x);
[q, fcnt] = quad(f, 0, pi, 1e-6, 1)

一元函数的矢量积分

矢量积分相当于多个一元函数积分。当被积函数中含有参数，需要对该参数的不同值计算同一个函数的积分时，可以使用矢量积分。`

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clear all;clc;
f = @(x, sigma) exp(-x^2./(2.*(1:sigma)))./sqrt(2*pi .* (1:sigma));
quadv(@(x)f(x, 3), 0, 2)

更好的解法：

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q = integral(@(x)f(x, 3), 0, 2, 'ArrayValued', true)

integral 函数表示普通的数值积分，采用全局自适应积分。
用法：help integral`

二重积分和三重积分

在MATLAB中二重积分和三重积分分别使用函数dblquad和函数triplequad实现。
q = dblquad(fun, xmin, xmax, ymin, ymax)；用法类似

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f = @(x, y) y*sin(x) + x*cos(y);
q = dblquad(f, pi. 2*pi, 0, pi)

含参函数

在MATLAB中，对于含参函数也可以使用嵌套函数和匿名函数的方法，两者有些微差别。

嵌套函数

该方法通过m文件函数，以函数参数为输入，在函数参数内调用函数的函数来处理含参函数。见例子：

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% 寻找函数f(x)=x^3+a*x^2+b*x+c的极值
function [x0, y] = funmin(a, b, c,x1,x2)
options = optimset('Display','off');
[x0, y] = fminbnd(@poly3, x1, x2, options);
    function y = poly3(x)  % 内置函数
        y = x^3 + a*x^2 + b*x + c;
    end

% 画图
fplot(@poly3, [x1, x2]);
hold on;
plot(x0, y, '.');
end

匿名函数

使用匿名函数同样可以实现这个函数，见例子：

创建一个含参数的函数，保存为m文件。输入为自变量和所有的参数。

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% 含参函数主体
function y = poly3_fun(x, a, b, c)

在调用函数的函数前对参数赋值。
用含参函数创建匿名函数。
把匿名函数的句柄传递给函数的函数进行计算。

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function [x0, y] = funmin_para(a, b, c, x1, x2)
options = optimset('Display','off');
[x0, y] = fminbnd(@(x)poly3_fun(x, a, b, c), x1, x2, options);

% 画图
fplot(@(x)poly3_fun(x, a, b, c), [x1, x2])
hold on
plot(x0, y, '.')
end

多元函数与一元函数类似。

4.3 微分方程

MATLAB能够求解的微分方程包括常微分方程初值问题、常微分方程的边值问题、时滞微分方程初值问题及偏微分方程问题。这里重点介绍前两个。另外MATLAB提供了偏微分方程工具箱，用于求解偏微分方程问题。

常微分方程的初值问题

MATLAB可以直接求解的常微分方程包括下面三种类型。
1. 显式常微分方程，y’=f(t,y)。
2.线性隐式常微分方程，M(t,y)y’=f(t,y)，其中M(t,y)为矩阵。
3.全隐式常微分方程f(t, y, y’) = 0。

显示常微分方程

函数命令：[t, y] = solver(odefun, tspan, y0, options) 输入参数：odefun——待求解的方程 tspan——积分区间 y0——初值，向量 options——指定求解算法。对于非刚性方程一般用龙格库塔即ode45或ode23，还可以使用ode113---Adams-Bashforth-Moulton算法，该算法对精密步长及方程难以估计时的情况效果更好。对于刚性方程可以用ode15s，首选，然后ode23s采用二阶改进Rosenbrock算法。还有一种算法为ode23t，采用自由内插的梯形规则。最后还有一种选项为ode23tb。

例子：求解范德蒙方程 $y''-u(1-y^2)y'+y=0$ ，其中u=1。
解：记 $z = y^{'}$ ，则上述方程可以改写为：

z'=(1-y^2)*z-y

创建函数，用于表示该方程

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function dydt = vdp1(t, y)
dydt = [y(2); (1- y(1)^2)*y(2) - y(1)];
end

求解该函数

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[t, y] = ode45(@vdp1, [0, 20], [2; 0]);

% 画图
plot(t, y(:, 1), '-', t, y(:, 2), '--');
title("范德蒙方程的解，u=1");
xlabel('time t');
ylabel('solution y');
legend('y', 'z');

例子2：求解u=1000时范德蒙方程的解.
当u=1000时，范德蒙方程为刚性问题，采用ode15s求解。

改写函数为vdp1000

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function dydt = vdp1000(t, y)
dydt = [y(2); 1000 * (1- y(1)^2)*y(2) - y(1)];
end

调用ode15s求解

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[t, y] = ode15s(@vdp1000, [0, 3000], [2; 0]);

% 画图
plot(t, y(:, 1), '-');
title("范德蒙方程的解，u=1000");
xlabel('time t');
ylabel('solution y');
figure
plot( t, y(:, 2), '--');
title("范德蒙方程的解，u=1000");
xlabel('time t');
ylabel("solution y'");

尝试一下使用不合适的求解器求解会出现什么呢？

完全隐式常微分方程

完全隐式常微分方程的形式为: f(t, y, y’) = 0。即原函数和函数的导数是耦合在一起的。MATLAB中的函数ode15i用来求解这一类方程。
用法为：[t, y] = ode15i(odefun, tspan, y0, yp0, options)，输入参数与之前的类似，其中y0和yp0指初值，需要满足f(t, y0, y0’) = 0。

例子：求解 $ty^2(y')^3 - y^3(y')^2 + t(t^2+1)y' - t^2y = 0$ ，初值为 $y (1) = 3 / 2$
解：

建立函数

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function dydt = pp(t, y, yp)
dydt = t*y^2*yp^3 - y^3*yp^2 + t*(t^2 + 1)*yp - t^2*y;
end

在解微分方程前，需要先求出y’(1)的初值。

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t0 = 1;
y0 = sqrt(3/2);
yp0 = 0;
[y0, yp0] = decic(@pp, t0, y0, 1, yp0, 0);
yp0

使用ode15i求解

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[t, y] = ode15i(@pp, [1, 10], y0, yp0);

% 与解析解比较
yt = sqrt(t.^2 + 0.5);
plot(t, y, t, yt, 'o')

常微分方程的边值问题

bvp4c 函数用于求解常微分方程边值问题，该函数调用方式如下。
sol = bvp4c(odefun, bcfun, solinit, options)；其中odefun为待求函数, bcfun为边界条件, solinit为一个结构体，是该方程解的一个估计值。options 也是一个结构体，可以通过函数bvpset创建。
结构体是MATLAB的一个新的数据类型，具体怎样，下一章再讲。

例子：求解方程 $y^{''} + ∣ y ∣ = 0$ , 边值条件为 y(0) = 0和y(t) = -2。

解：

将方程改写为一阶微分方程：
$y 1^{'} = y 2; y 2^{'} = - ∣ y ∣$
创建函数和边值条件

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% 函数体
function dydx = eqode(x,y)
  dydx = [y(2), - abs(y(1))];
end

% 边值条件
function res = eqbc(ya,yb)
  res = [ ya(1), yb(1) + 2];
end

创建solinit估计值，并求解

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% 创建估计值
solinit = bvpinit(linspace(0, 4, 5), [1, 0]);

% 求解
sol = bvp4c(@eqode, @eqbc, solinit);

% 画图显示
x = linspace(0, 4);
y = deval(sol, x);
plot(x, y(1, : ))

4.4 习题

有如下数据：

变量	值
x	1	1.1	1.2	1.3	1.4
y	1.0	1.23368	1.55271	1.99372	2.61170

利用本章介绍的几种插值方法对其进行插值，得到每隔0.05的结果。

求函数 $y = e^x - x^5$ ，初始点为 x = 8的解，并绘制图形。
求下列函数的极值。
（1） $z = x^2 - (y-1)^2$
（2） $z = (x - y + 1)^2$
计算下列积分。

(1) $int_{-1}^{1} {x+x^3+x^5} dx$

(2) $int_{1}^{10} int_{1}^{10} {sin(y)*(x+y)/(x^2+4)} dx dy$

最后

以上就是勤恳雪碧最近收集整理的关于第四章 MATLAB的数学运算4.1 多项式与插值4.2 函数运算4.3 微分方程4.4 习题的全部内容，更多相关第四章内容请搜索靠谱客的其他文章。

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本文分类：MATLAB应用讲义
浏览次数：119 次浏览
发布日期：2023-05-30 06:10:01
本文链接：https://www.kaopuke.com/article/k-p-k_14_ujogfy_13__23__14_3.html

第四章 MATLAB的数学运算4.1 多项式与插值4.2 函数运算4.3 微分方程4.4 习题

第四章 MATLAB的数学运算

4.1 多项式与插值

4.1.1 多项式的表示

4.1.2 多项式的四则运算

4.1.3 多项式的其他运算

4.1.4 数据插值

4.2 函数运算

4.2.1 函数的表示

4.2.2 绘制数学图像

4.2.3 求函数的极值

求一员函数极小值

多元函数求极值

4.2.4 函数求解

4.2.5 数值积分

一元函数的积分

一元函数的矢量积分

二重积分和三重积分

含参函数

嵌套函数

匿名函数

4.3 微分方程

常微分方程的初值问题

显示常微分方程

完全隐式常微分方程

常微分方程的边值问题

4.4 习题

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第四章 MATLAB的数学运算4.1 多项式与插值4.2 函数运算4.3 微分方程4.4 习题

第四章 MATLAB的数学运算

4.1 多项式与插值

4.1.1 多项式的表示

4.1.2 多项式的四则运算

4.1.3 多项式的其他运算

4.1.4 数据插值

4.2 函数运算

4.2.1 函数的表示

4.2.2 绘制数学图像

4.2.3 求函数的极值

求一员函数极小值

多元函数求极值

4.2.4 函数求解

4.2.5 数值积分

一元函数的积分

一元函数的矢量积分

二重积分和三重积分

含参函数

嵌套函数

匿名函数

4.3 微分方程

常微分方程的初值问题

显示常微分方程

完全隐式常微分方程

常微分方程的边值问题

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