【广告算法工程师入门 13】机制设计-私人价值模型下四种拍卖形式的报价策略与均衡分析

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私人价值模型的五个假设：风险中兴，私有估价，独立性，对称型，理性。

四种拍卖形式：英式拍卖，荷兰式拍卖，第一价格密封拍卖，第二价格密封拍卖

从竞价策略上分析，荷兰式拍卖与第一价格密封拍卖存在等价策略。在私人价值假设（仅需这一个假设）上，英式拍卖与第二价格密封拍卖存在等价策略。因此来说仅仅分析第一价格密封拍卖和第二价格密封拍卖即可。

这里的策略就是报价。竞买人是对称的，所以只用考虑一个典型的竞买人策略，即对于每一个估价$v_i$选择一个报价$b_i$,报价策略函数为$b_i(v_i)$.对于一个竞买人来说，他的目的是寻找一个最优报价策略函数$b^{\ast }$，使得自己的收益最大化。这个最优的报价策略函数应该是单调递增的函数。

英式拍卖和第二价格密封拍卖和最优报价策略和均衡分析

在私人价值假设（仅需这一个假设）上，英式拍卖与第二价格密封拍卖存在等价策略，这个的详细解释可以看具体的书籍。

直接给出结论，在英式拍卖或者第二价格密封拍卖中，按照估价进行报价是弱占优策略。即最优的报价策略函数是：$b_i(v_i)=v_i$,注意在前文的假设中这里的$v_i=x_i$,也就是说按照私人价值进行估价和报价，说真话是竞买人在英式拍卖和第二价格拍卖中的弱占优策略，这是一个对称纳什均衡。这个的详细解释可以看具体的书籍，不难证明。

需要特别指出的是，在单物品拍卖中，这是一种让竞买者说真话的机制，这对于机制设计来说是一件十分重要的事情，因为知道了竞买者的真话，可以很多事情，来保证自己的收益最大化。

既然已经知道英式拍卖或者第二价格密封拍卖中的均衡结果，那么拍卖物品的分配，各个竞买人的支付与收益，以及售卖人的收益也很容易获得，这里就不再给出公式了，详细解释可以看具体的书籍。

荷兰式拍卖与第一价格密封拍卖

第一价格密封拍卖的报价策略和均衡分析要比第二价格密封拍卖复杂的多。具体推导过程不再赘述，直接给结果。在第一价格密封拍卖中，对称均衡策略是：$b_i(v_i)=E[Y_1|Y_1<v_i]$,其中$Y_1$是$N-1$个独立抽取的价值的最大值，也就是$F(v)$的第二个顺序统计量，即竞买人的均衡报价策略是在假定自己获胜的情况下，对第二高估值的期望值。在均衡的时候，每一个竞买人都会隐藏一部分自己的私人信息，随着参与竞拍人数增加，竞买人的均衡报价将越来越接近其真实估价。

在均衡下，收益分析容易获得，不再赘述。

收益等价原理

私人价值模型下四种拍卖形式的报价策略与均衡分析已经介绍完了，那么对于售卖者来说，十分迫切的想知道选择哪种拍卖形式可以收益最大化呢？很不幸，Vickrey给出了令人吃惊的答案，这四种拍卖形式对售卖者来说收益是相同的，这就是收益等价原理。

乍一看，第一价格密封拍卖与第二价格密封拍卖的收益应该不一样呀，两者的分配规则是一致的，区别仅在于支付规则，因此采用二价机制很容易遭受损失，但是忘了一个基本问题，因为支付规则不同，两者的分报价策略也是不一样的。前者，竞买者的预期支付依赖于自己的报价，自然会对自己的估价有所隐藏；后者的预期支付与自己的报价无关，会更加积极的报价。

之前说如果售卖者知道竞买人的估价，那么直接卖给估价高的人就可以了，收益和效率最大。但是售卖者是不知道竞买人的估价，那么就通过设计机制迫使他们说出心理的估价，但这并不意味着售卖者可以直接按照该估价收费。当然售卖者不能朝令夕改，改变游戏的规则，后续会介绍分配规则和支付规则是一致的。

不过，需要注意，虽然存在等价原理，但是并不代表售卖者不需要做决策了。首先，收益等价原理是有前提假设的，即私人价值模型；其次，即使在私人价值模型的前提下，售卖者还有其他的拍卖形式（如全支付拍卖，两阶段拍卖，带有入场费和保留价的拍卖）等可供选择和参数设置，而这部分工作其实也是机制工作的重要部分。

比如，第二价格拍卖下的收益，要比第一价格拍卖下的更加多变，前者的价格区间为整个策略集合，而后者是在$E[Y_1]$的限制下的，也就是说前者的拍卖风险更大，对于风险厌恶的售卖者来说都会相对偏爱后者，这也就解释了现实生活着的艺术品等大部分采用了第一价格拍卖。也许会很奇怪，后续会谈到在计算广告里，大部分是采用第二价格进行拍卖的，这是为什么呢？后续会解释。

参考资料：
戎文晋 【关键词拍卖与理论实践】
克里斯纳，罗德明翻译【拍卖理论】

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最后

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