概述
文章目录
- 直接结构
- 直接I型
- 直接II型
- 级联结构
- 并联结构
- 转置结构
一个数字滤波器在时域常用常系数线性差分方程表示
y
(
n
)
=
∑
k
=
0
M
b
k
x
(
n
−
k
)
−
∑
k
=
1
N
a
k
y
(
n
−
k
)
(1)
y(n)=sum_{k=0}^Mb_kx(n-k) - sum_{k=1}^N a_ky(n-k) tag{1}
y(n)=k=0∑Mbkx(n−k)−k=1∑Naky(n−k)(1)
不难得出其系统函数为
H
(
z
)
=
∑
k
=
0
M
b
k
z
−
k
1
+
∑
k
=
1
N
a
k
z
−
k
(2)
H(z) = frac{sum_{k=0}^M b_kz^{-k}}{1+sum_{k=1}^N a_kz^{-k}} tag{2}
H(z)=1+∑k=1Nakz−k∑k=0Mbkz−k(2)
无限长单位冲激响应(IIR)滤波器，其具有如下特点：
- 系统的单位抽样响应 h ( n ) h(n) h(n)是无限长的
- 从(1)中看，至少存在一个 a k ≠ 0 a_kneq 0 ak=0.也就是说输出到输入存在反馈,是递归结构
- 从(2)中看, H ( z ) H(z) H(z)在有限Z平面 ( 0 < ∣ z ∣ < ∞ ) (0<|z|<infty) (0<∣z∣<∞)一定存在极点.
- 单位冲激响应 h ( n ) h(n) h(n)为实数,则所有系数 ( a k , b k ) (a_k,b_k) (ak,bk)均为实数
直接结构
直接I型
根据时域表达式(1)首先将
x
(
n
−
k
)
x(n-k)
x(n−k)加权作和，再实现
y
(
n
−
k
)
y(n-k)
y(n−k)的加权和,就可以实现直接I型
直接II型
将I型中时延器合并，即可得到直接II型
关于反馈网络的说明:
对于每一次 x ( n ) x(n) x(n)的输入,反馈网络不同于正馈网络1,仅运算一次输出.反馈网络的输出量将作为输入量继续影响反馈网络的输出，不断进行递归运算,直到全部反馈网络中不再产生输出量2,系统的响应才算结束.
级联结构
对系统函数表达式(2)进行因式分解，有
H
(
z
)
=
G
∏
j
=
1
m
(
1
−
ξ
i
z
−
1
)
∏
i
=
1
n
(
1
−
p
i
z
−
1
)
(3)
H(z)=G frac{prod_{j=1}^m (1-xi_i z^{-1})}{prod_{i=1}^n (1-p_i z^{-1})} tag{3}
H(z)=G∏i=1n(1−piz−1)∏j=1m(1−ξiz−1)(3)
将其中的共轭零极点合并
(
1
−
q
k
z
−
1
)
(
1
−
q
k
∗
z
−
1
)
=
1
−
(
q
k
+
q
k
∗
)
z
−
1
+
q
k
q
k
∗
z
−
2
(1-q_k z^{-1})(1-q_k^*z^{-1})=1-(q_k+q_k^*)z^{-1}+q_k q_k^* z^{-2}
(1−qkz−1)(1−qk∗z−1)=1−(qk+qk∗)z−1+qkqk∗z−2
系统函数将变为一阶与二阶因式相乘的形式,那么系统函数也可以进一步写为多个有理分式连乘的形式,其中每个可用如下通式表示
H
k
(
z
)
=
1
+
β
1
k
z
−
1
+
β
2
k
z
−
2
1
+
α
1
k
z
−
1
+
α
2
k
z
−
2
H_k(z)=frac{1+beta_{1k}z^{-1}+beta_{2k}z^{-2}}{1+alpha_{1k}z^{-1}+alpha_{2k}z^{-2}}
Hk(z)=1+α1kz−1+α2kz−21+β1kz−1+β2kz−2
频域相乘，时域卷积，所以滤波器的设计可以采用多个基本结构所代表的系统相连构成.
由于
H
(
z
)
=
Y
(
z
)
X
(
z
)
=
1
+
β
1
k
z
−
1
+
β
2
k
z
−
2
1
+
α
1
k
z
−
1
+
α
2
k
z
−
2
(4)
H(z)=frac{Y(z)}{X(z)}=frac{1+beta_{1k}z^{-1}+beta_{2k}z^{-2}}{1+alpha_{1k}z^{-1}+alpha_{2k}z^{-2}} tag{4}
H(z)=X(z)Y(z)=1+α1kz−1+α2kz−21+β1kz−1+β2kz−2(4)
对(4)进行逆Z变换，不难得出其对应网络的时域表达式
y
(
n
)
=
∑
k
=
0
2
β
k
x
(
n
−
k
)
−
∑
k
=
1
2
α
k
y
(
n
−
k
)
y(n)=sum_{k=0}^2beta_kx(n-k)-sum_{k=1}^2 alpha_k y(n-k)
y(n)=k=0∑2βkx(n−k)−k=1∑2αky(n−k)
一阶基本网络设计为
二阶基本网络设计
需要注意的是
- 每级相连次序不唯一很灵活，但不同连接次序会有不同误差
- 联级网络间要有电平的放大与缩小
- 由于网络联级，误差会逐级累积
并联结构
将(3)进行部分分式展开
H
(
z
)
=
G
∑
i
=
0
N
A
i
1
−
p
i
z
−
1
+
∑
i
=
0
M
−
N
C
i
z
−
i
H(z)=Gsum_{i=0}^{N} frac{A_i}{1-p_iz^{-1}}+sum_{i=0}^{M-N} C_iz^{-i}
H(z)=Gi=0∑N1−piz−1Ai+i=0∑M−NCiz−i
在这里对展开式的第二部分进行说明:
- 当 M ≥ N Mgeq N M≥N时
分子可视为
n
u
m
e
r
a
t
o
r
=
P
1
⋅
d
e
n
o
m
i
n
a
t
o
r
+
P
2
numerator = P_1 cdot denominator +P_2
numerator=P1⋅denominator+P2
因此
C
i
C_i
Ci为
P
1
P_1
P1多项式各幂次系数,
P
2
P_2
P2留下为真分式的分母,进行部分展开.
- 当
M
<
N
M<N
M<N时
P 1 = 0 P_1=0 P1=0,此时H(z)为真分式,无额外常数项.
再将部分展开式的共轭极点合并,系统函数可以表示为
H
(
z
)
=
∑
i
=
0
N
B
0
k
+
B
1
k
z
−
1
1
+
A
1
k
z
−
1
+
A
2
k
z
−
2
+
∑
i
=
0
M
−
N
C
i
z
−
i
H(z)=sum_{i=0}^N frac{B_{0k}+B_{1k}z^{-1}}{1+A_{1k}z^{-1}+A_{2k}z^{-2}}+sum_{i=0}^{M-N} C_iz^{-i}
H(z)=i=0∑N1+A1kz−1+A2kz−2B0k+B1kz−1+i=0∑M−NCiz−i
将和式中每一部分作为一个基本结构,按照作和的关系并联连接
其中一、二阶基本网络与联级结构相同;常数部分设计如下
相对于联级结构来说，并联结构各基本网络平行，因此所产生的误差不会累积，且信号同时加到各网络上，运算速度略快
转置结构
利用线性时不变系统的转置定理设计转置结构
对于线性时不变系统,将其流图的所有支路方向翻转,不改变支路增益,再交换输入输出位置，所得到新的网络为原网络的转置结构，二者系统函数相同
对 x ( n ) x(n) x(n)加权部分 ↩︎
多次时延后 y ( n − k ) = 0 y(n-k)=0 y(n−k)=0 ↩︎
最后
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