iir滤波器的基本网络结构_[转载]IIR数字滤波器设计

[转载]IIR数字滤波器设计

(2013-10-27 07:25:56)

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数字滤波器的基本概念

1. 数字滤波器

输入输出均为数字信号,经过一定运算关系改变输入信号所含频率成分的相对比例

或者滤除某些频率成分的器件

优点(与模拟滤波器比):精度高,稳定,体积小,重量轻,灵活,不要求阻抗匹配,能实现AF无法实现的特殊滤波功能

2. 数字滤波器的分类

经典滤波器:即一般滤波器(输入信号中有用的频率成分和希望滤除的频率成分

各占有不同的频带,通过以合适的选频滤波器达到目的)

现代滤波器:如维纳滤波器,卡尔曼滤波器,自适应滤波器等

最佳滤波器(按随机信号内部的统计分布规律,从干扰中最佳提取信号)

一般数字滤波器:低通,高通,带通,带阻

数字滤波器的传递函数都以为周期:

滤波器的低通频带处于整数倍处,高频频带处于的奇数倍附近.

从实现的网络结构(或单位脉冲响应分类):

IIR滤波器: (N阶)

FIR滤波器:H(z)= ((N-1)阶)

3. 数字滤波器的技术要求

数字滤波器传输函数

其中:幅频特性 :信号通过滤波器后的各频率成分衰减情况

相频特性:各频率成分通过滤波器后在时间上的延时情况

选频滤波器:一般要求幅频特性,相频特性一般不要求(但若对输出波形有要求,则需要考虑相频特性的技术指标,如语音合成,波形传输,图像信号处理)

若对输出波形有严格要求,则需设计线性相位数字滤波器.

(本章主要研究:由幅频特性提出指标的选频滤波器的设计)

实用滤波器:

过渡带:在通带和阻带之间设置一定宽度的过渡带

例:低通滤波器的技术要求

1):通带截止频率

2):阻带截止频率

过渡带:(,)一般单调下降

通带内允许的最大衰减,阻带内允许的最小:

(=3dB时的——3dB通带截止频率)

边界频率——,,

数字滤波器设计方法概述

IIR滤波器设计方法

借助模拟滤波器设计方法

直接设计法 直接在频域或时域设计(需计算机辅助设计)

FIR滤波器

窗函数法

频率采样法

切比雪夫等波纹逼近法——需计算机辅助设计

线性相位滤波器

FIR滤波器 常用(相位特性严格线性,这是AF无法达到的)

IIR滤波器 必须使用全通网络对其非线性相位特性进行相位校正

6.2模拟滤波器的设计

AF理论和设计方法已相当成熟

典型的模拟滤波器(AF) 都有严格的设计公式,现成的曲线和图表

设计方法:先设计LPF希望类型的filter(如高通,带通,带阻)

一,模拟低通滤波器的设计指标及逼近方法

设计指标:( —通带截止频率, —阻带截止频率

—通带中的最大衰减系数 —阻带的最小衰减系数)

对单调下降的幅度特性:

逼近方法:设计一个传输函数Ha(s),使其幅度平方函数满足指标,

一般滤波器的单位冲激响应为实数

Ha(s)必须是稳定的:Ha(s)极点落在s平面的左半平面

Ha(-s)极点落在右半平面

二 巴特沃斯(Butterworth) 低通滤波器的设计方法

1,幅度平方函数 N:阶数

N愈大 幅度下降的速度愈快,过渡带愈窄

2,设计思路

将s=代入幅度平方函数后,求出2N个极点

2N个极点等间隔分布在半径为(巴特沃斯圆)的圆上,间隔为 rad.

2)形成稳定的滤波器,必须

即

为使设计统一,将所有频率归一化(用归—)

∴

显然只需求出N

阶数N的确定—由定义式推导

其中

取大于等于N的最小整数

Note:

若未知,则可按定义式求出

或按定义式求出

3,低通Butterworth滤波器的设计步骤

由技术指标求阶数N

查表——〉归一化传输函数或极点

或按公式求出极点,代公式求出

去归一化:

三,切比雪夫I型滤波器的设计方法

巴特沃斯滤波器:频率特性曲线单调,通带内指标有余量.

改进缺陷方法:将精度均匀分布在整个通带内(或阻带),或同时分布在通,阻带内,

从而可以选阶数较低的系统,可通过选择具有等波纹特性的逼近函数来达到.

切比雪夫I型滤波器——振幅特性在通带内等波纹,在阻带内单调.

切比雪夫II型滤波器——振幅特性在通带内单调,在阻带内等波纹.

幅度平方函数:

其中: ——N阶切比雪夫多项式

为小于1的正数——表示通带内幅度波动的程度.

归一化频率:

切比雪夫多项式

过零点在1范围内

时,1,在内具有等波纹性

时,是双曲余弦函数,随x单调上升

幅度平方函数

当=0,N为偶数时,;N为奇数时,.

当=时,.即所有幅度函数曲线都通过点,所以将定义为切比雪夫的截止频率.

在[0,]上有波动,最大值为1,最小值为

>时,随加大很快接近于零

阶数N相同时,切比雪夫滤波器比Butterworth滤波器的过渡带宽

设计思路

1) 允许的通带波纹

∴

2)阶数N,影响过渡带的宽度,影响通带内波动的疏密

N=通带内最大值与最小值的总个数

求出——〉求滤波器极点——〉确定Ha(p) ()

Note:切比雪夫滤波器的极点——是一组分布在b为长半轴(右虚轴),

a为短半轴(右实轴)的椭圆上的极点

3)设计步骤(P162-163)

A,确定技术指标:

B,求filter阶数N,参数

其中:,

C,求归一化传输函数Ha(p)

其中:

D,去归一化——〉Ha(s)

H a (s) = H a (p)

四,模拟滤波器的频率变换——模拟高通,带通,带阻滤波器的设计

符号规定:低通:G(s) s = j p = j

所需类型:H(s) s = j q = j

1. 低通到高通的频率变换: H(q)=G(p)|

设计步骤:

2. 低通到带通的频率变换:

H (s) = G (p)

得:

其中:通带滤波器的通带上下限频率

下阻带上限频率,上阻带下限频率

通带带宽B=

通带中心频率

归一化拉氏变量

边界频率转换时的确定:()

设计步骤:与上同,略

3. 低通到带阻的频率变换:

H (s) = G (p)

其中: 阻带带宽

阻带中心频率

上下截止频率

阻带下限频率,阻带上限频率

Note:边界频率转换问题()

取绝对值较小者并令为正值

6.3用脉冲响应不变法(Impulse response invariable

)设计IIR数字低通滤波器

脉冲响应不变法的指导思想:

设计模拟低通滤波器AF:数字低通滤波器DF:

时域上的转换方法,使在采样点上等于

为了保证转换后的H(z)稳定且满足技术要求,对转换关系提出两点要求:

(1) 因果稳定(Causal

stable)的模拟滤波器转换成数字滤波器,仍是因果稳定的.即S平面的左半平面映射Z平面的单位圆内部.

(2)数字滤波器的频率响应模仿模拟滤波器的频响,s平面的虚轴(imaginary

axis)映射z平面的单位圆(unit circle),相应的频率之间成线性关系.

基本映射关系

1)

2)

缺点:如果原模拟信号的频带不是限制在之间,则会在的奇数倍附近产生频率混叠,从而映射到z平面上,在附近产生频率混叠(aliasing).

不适合用这种方法设计高通和带阻滤波器.

设计步骤

①利用 将数字技术指标wp,ws 变换到模拟技术指标,;,

②设计模拟低通滤波器

③→

6.4 用双线性变换法(Bilinear

Transformation)设计IIR数字低通滤波器

1.克服频率混叠的思想:采用非线性频率压缩方法,将整个频率轴上的频率范围压缩到之间,再用转换到Z平面.

2.方法:

第一步: s平面(plane) s1-平面,

, ,

s平面 s1-平面实现频率压缩

正切变换实现频率压缩:

第二步: s1平面z平面

图6.4.1 双线性变换法的映射关系

由以上两个步骤得到;

(6.4.3)

(6.4.4)

3.数字频率 和模拟频率的关系

, , 代入式(6.4.3)得

(6.4.5)

4.优缺点

优点(Merits:)

(1)避免了频率混叠

(2) 可以直接由 变换到

缺点(Drawbacks):

频率非线性压缩引起固有的频率失真

局限(Limitation)

适合片段常数特性的滤波器设计

5.设计步骤

确定数字滤波器的设计指标,,,

将这些指标转换成模拟滤波器指标

设计模拟低通滤波器.典型的方法有巴特沃斯(Butterworth),切比雪夫(Chebyshev

Type I, Chebyshev Type II )和 椭圆(elliptic)滤波器设计方法.滤波器阶数(the

order of the filter)越高,滚降(the roll-off )越陡.

将 从 s-平面转换到z-平面得到数字滤波器

表6.4.1 系数关系表

6.5 数字高通,带通和带阻滤波器的设计(Design of highpass, bandpass,

and bandstop IIR digital filters)

具体设计步骤如下:

确定所需类型数字滤波器的技术指标.

将所需类型数字滤波器的技术指标转换成所需类型模拟滤波器的技术指标,转换公式为

将所需类型模拟滤波器技术指标转换成模拟低通滤波器技术指标(具体转换公式参考本章6.2节).

设计模拟低通滤波器.

将模拟低通通过频率变换,转换成所需类型的模拟滤波器.

采用双线性变换法,将所需类型的模拟滤波器转换成所需类型的数字滤波器.

例6.5.1

设计一个数字高通滤波器,要求通带截止频率ωp=0.8πrad,通带衰减不大于3

dB,阻带截止频率ωs=0.44πrad,阻带衰减不小于15dB.希望采用巴特沃斯型滤波器.

解

数字高通的技术指标为

ωp=0.8πrad, αp=3dB;

ωs=0.44πrad, αs=15dB

模拟高通的技术指标计算如下:令T=1,则有

模拟低通滤波器的技术指标计算如下:

将Ωp和Ωs对3dB截止频率Ωc归一化,这里Ωc=Ωp,

设计归一化模拟低通滤波器G(p).模拟低通滤波器的阶数N计算如下:

查表得到归一化模拟低通传输函数G(p)为

为去归一化,将p=s/Ωc代入上式得到:

将模拟低通转换成模拟高通.将上式中G(s)的变量换成1/s,得到模拟高通Ha(s):

用双线性变换法将模拟高通H (s)转换成数字高通H(z):

实际上5),6)两步可合并成一步,即

确定高通滤波器指标

边界频率转换

归一化LPF

G(p)

转化为归一HPF并去归一()

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