一阶系统开环传递函数表达式_自动控制总结：第五章、线性系统的校正方法

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我是靠谱客的博主高挑书包，最近开发中收集的这篇文章主要介绍一阶系统开环传递函数表达式_自动控制总结：第五章、线性系统的校正方法，觉得挺不错的，现在分享给大家，希望可以做个参考。

概述

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5.1系统校正的一般概念

控制系统的设计任务：校正(补偿)：改变系统结构，或在系统中增加附加装置，对原系统（固有部分）再设计使之满足性能要求。

系统设计的本质是确定合适的校正装置

常用校正方法：串联校正、反馈校正、前馈校正、复合校正

1、性能指标

稳态精度：稳态误差ess

过渡过程响应特性：时域：上升时间tr、超调量Mp、调节时间ts

频域：谐振峰值Mr、截止频率ωc、谐振频率ωr、带宽ωb

相对稳定性：增益裕量Kg、相位裕量γ(wc)

扰动的抑制：带宽ωb

2、系统带宽的选择

下面研究闭环幅频特性曲线的某些特征值与系统品质指标的关系

图示是典型闭环特性曲线Φ(jw)。它的低频部分变化缓慢，党频率增大到某一数值时，出现谐振峰值，以后就以较大的陡度衰减，因此可以用下述特征值描述幅频特性的变化特征

（1）Φ(0)= Φ(w)

。

闭环幅频特性始值Φ(0)表征了系统的无差度，当Φ(0)＜1时，系统是有差系统，有差系统的误差系数

=1-Φ(0)。当Φ(0)=1时，系统的无差度v≥1，至于究竟是几阶无差度，则不能判定，误差系统的误差系数

=1-Φ(0)=0。总之，

闭环频率特性的低频段是反映系统的稳态性能的。

（2）相对谐振峰值

其表征系统的振荡指标，即振荡的激烈程度。相对谐振峰值Mr=

，其数值越大，超调量也越大，在一般情况下，取这个值为1.2~1.5，这样就使得系统的稳定程度比较适中，超调量在20%~30%左右

（3）系统的谐振频率wr和带宽频率wb

这两个数值表征了系统的快速性，数值越大，过度时间ts就越短，wc是开环对数幅频特性与零分贝线交点对应的角频率（截止频率），它介于闭环幅频特性的谐振频率wr和wb之间，所以也可以用wc衡量系统的快速性

3、校正方式

四种校正方式：串联校正、反馈校正、前馈校正、复合校正

校正方式选择考虑的因素：信号性质；技术方便程度；供应的元件；其它要求（抗干扰、环境适应性、经济性）。

串联校正：设计简单，容易对信号进行变换，但需注意负载效应的影响

反馈校正：可消除系统原有部分参数对系统影响，元件数也较少

同时采用串、并联校正：性能指标要求较高的系统

5.2 基本控制规律

（这三个字母要好好记住所对应的含义）

P、PI、PD 或PID 控制特点：

①适用于数学模型已知或数学模型难确定的系统；

②PID 控制参数整定方便，结构灵活

1、比例控制器(P)

比例控制器是增益可调的放大器

增大Kp，提高系统稳态精度（因为K在ess公式的分母那里），但又降低了系统的稳定性（裕度减小了），甚至造成闭环不稳定。因此，很少单独使用比例控制规律。

当Kp＞1时，系统稳定，

而当开环增益K增大的时候，会使原来的曲线向上移动，从而导致ess减小（前面知道，ess的表达式中，K在分母），wc增大，ts缩短，稳定程度变差（裕度变小）

因此原系统稳定裕度充分大时候才用比例控制

当Kp＜1时，刚好相反

2、比例微分（PD）控制

转折频率：

特点：

①PD控制引入微分作用改善系统的动态性能

②高频段增益上升，导致执行元件输出饱和，降低抗干扰的能力；

③相位裕量增加，稳定性提高；

④ wc增大，快速性提高，即ts减小

⑤ Kp＝1时，系统稳态性能没有变化

⑥不单独使用

⑦系统的高频增益增大，而很多干扰信号都是高频信号的，因此很容易引入高频干扰

⑧对系统的稳态误差不产生直接的影响

3、比例积分（PI）控制

转折频率：

特点

调节Ti 影响积分控制；调节Kp影响比例和积分部分

存在积分环节，PI控制器有记忆功能

一个积分环节→提高系统的稳态精度（系统型别提高）

一个开环零点弥补积分环节对系统稳定性的不利影响）

Kp=1时

特点：系统型别提高稳态误差减小，相角裕度减小稳定程度变差

Kp<1时，

特点：

型别提高，ess减小,改善系统稳态性能;
从不稳定变为稳定；
wc减小，快速性变差;
引入比例作用调节积分产生的相角滞后对系统稳定性所的不利影响。
＜0，所以引入PI控制器后，相位滞后增加，因此，通过PI控制器
改善系统的稳定性，必须Kp< 1，以降低穿越频率。

4、（PID）控制规律

通常PID控制器中wi<wd（即Ti>τ）

低频段，通过积分控制作用,改善系统的稳态性能；

频段，通过微分控制作用, 提高系统的动态性能。

近似有：

5.3频率法串联校正：

校正装置设计方法：

①分析法：用分析法设计校正装置比较直观，在物理上易于实现，但要求设计者有一定的工程设计经验，设计过程中带有试探性，目前工程技术界多用分析法进行设计

②综合法：从闭环系统的性能与开环系统性能密切相关这一概念出发，根据规定的性能指标要求确定系统期望的开环对数频率特性形状，然后与系统原有开环对数频率特性相比较，从而确定校正方式、校正装置的形式和形状

但希望的校正装置传递函数可能比较复杂，物理上难以实现

这两种方法仅适用于最小相位系统

开环频率特性的低频段表征了闭环系统的稳态性能

开环频率特性的中频段表征了闭环系统的动态性能

开环频率特性的高频段表征了闭环系统的复杂性和噪声抑制性能。

因此我们设计的时候：

低频段增益足够大，以保证稳态误差要求；

中频段斜率为-20dB/dec并占据较宽的频带，保证适当的相角裕度；

高频段增益尽快减小，以削弱噪声影响，

串联超前校正

（1）无源超前网络

无源超前校正网络电路如下图所示，U1为输入信号，U2为输出信号。

若输入信号源的内阻为0，且输出端的负载阻抗为无穷大，则超前网络的传递函数为

我们称α为分度系数，T称为时间常数。

从上式我们可以看到，采用无源超前校正网络进行串联校正时，α使得整个系统的开环增益下降了α倍，因此要提高放大器的增益加以补偿

从图中我们可以看出，超前校正网络对对频率在1/αT~1/T之间具有明显的微分作用，在这个频率范围内，输出信号的相角比输入信号相角超前，超前网络的名称由此而来。

在图中还表明，在最大超前角频率wm处，具有臭超前角φm，且wm正好在两个转折频率1/αT和1/T的几何中点（注意这里是几何中点，这是针对在对数坐标纸上说的）。

相角计算公式为：

对其求导并令其为0，得

将wm带入φc(w)中，得到φm=arcsin

或者写成 α=

（2）串联超前校正

其设计是利用校正器对数幅频曲线有正斜率的区段及其相频曲线具有正相移的区段系统校正设计。

这种设计校正方法被要求稳定性好，超调小以及动态过程响应快的系统常用

优点：校正后系统的剪切频率（截止频率）比校正前大，系统的快速性能得到提高（wc提高了，对应的时间减小了）

缺点：但是采用无源网络作为校正器，会产生增益损失，现在已经被有源校正所替代。

用频域法设计无源超前网络的步骤如下：

①根据稳态误差要求，确定开环增益K

②利用已确定的开环增益，计算未校正系统的相角裕度

③根据截至频率wc”的要求，计算超前及网络参数α和T

步骤③中，关键是选择最大超前相角频率等于要求的系统的截止频率，即wm=wc”，要这么做的原因是为了保证系统的相应速度，以及充分利用网络的相角超前特性（在这里，说明一下，不一定是要使得wm=wc”，也可以设计其他网络，wm≠wc”但是那样就不能充分利用校正网络的相角超前特性）

而使得wm=wc”，我们就应该要让-L(wc”)=Lc(wm)=10lgα （第一项是原来为校正网络，第二个是校正网络。）从而求出α值，并且通过T=

确定T

若未提出对校正后的wc”要求，从给出的相角裕度γ”出发，通过下式求得

φm=γ”-γ(wc)＋△

其中φm是利用超前校正网络产生的最大超前相角，γ”是系统要求的相角裕度，γ(wc)是原未校正系统在wc处的相角裕度，△是考虑到校正装置会使剪切频率的位置后移而附加的相角域量，一般取5°~12°（就是为了让网络最后的裕度多一些）。

④验算校正系统的相角裕度γ”：由于超前网络的参数是按照系统截止频率要求选择的，因此相角裕度是否满足要求，必须验算。

验算时，先求出φm=arcsin

，接着由已知的wc”算出为校正系统在wc”时的相角裕度γ(wc”)，最后按公式γ"=φm+γ(wc")计算γ"，

如果验算结果不满足，那么应该重新选择wm的值，一般使 wc=wm值增大，然后重复以上计算步骤

⑤确定校正装置的传递函数：校正装置的两个转折频率可由

和

求出

最后写出校正装置的传递函数

串联超前校正受以下因素的限制：

①未校正系统不稳定，超前网络要提供很大的超前角,这样，超前网络的a必须很大，造成校正系统带宽过大，使通过系统的高频噪声很高

②截止频率附近相角迅速减小的未校正系统, 校正后γ改善不大，难得到足够的超前角。这种情况是ωc′附近有两个交接频率相近或相等的惯性环节；或一个振荡环节（因为一个震荡环节是-40dB）

这种情况可采用两级（或两级以上）的串联超前网络校正，或一个迟后网络校正，或测速反馈校正。

2、串联滞后校正

（1）无源滞后网络

传递函数：

低频段：A（ω）=1 (0dB)

我们可以得到交接频率：1/T和1/bT

三段频率分为别为0、-20、0

令

，

则有

，

我们可以看到，滞后网络的最大滞后角在-20dB的中间

我们采用无源滞后网络进行串联校正时，主要是利用其高频幅值衰减的特性，来降低系统的开环截止频率，从而提高系统的相角裕度。

因此我们不能够让wc”发生在wm，如果发生在wm，会使得原网络的相角裕度更加小。

在选择滞后网络参数时，长使网络的交接频率1/bT远小于wc”。

所以我们取

（式子中的10可以选择10~15都可以）

另外，b越小，相位滞后越严重。

此时，滞后网络在wc”处产生的相角滞后按下面得公式计算：

φc(wc”)=arctanbTwc”-arctanTwc”

（不用背，直接推就行了）

上式也可以简化为：φc(wc”)≈arctan[0.1(b-1)]

（2）串联滞后校正

步骤

①根据ess要求，确定K；

②利用已确定的K ，计算未校正系统的γ等

③根据γ”的要求，求出wc”

这里求wc”的话，是根据γ"=γ(wc")+φc(wc")

来确定的，等号左边是我们想要的相角裕度，等号右边第一项是原网络在wc”处的相角，而等号右边第二项是滞后校正网络，因为整个滞后网络都是滞后的，而我们想要让滞后网络的滞后很小的高频部分等于wc”，所以我们令φc(wc”)≈-6°，通过γ(wc”)=γ”-φc(wc”)就可以求出来wc”

④求b，T

用式子 20lgb+L(wc")=0来求b，这里是20而不是10是因为我们是利用高频复制衰减的特性，就是在后面斜率为0dB那部分

接着用

求出T，

所以就可以得到校正装置的传递函数

⑤验算已校正系统的γ”和Kg

串联滞后校正的特点：