泊松分布与指数分布的理解

说到泊松分布，最好是明白：泊松分布是二项分布n很大而p很小时的一种极限形式。

二项分布：已知某件事情发生的概率是p，那么做n次试验，事情发生的次数就服从二项分布。

泊松分布式某段连续的时间内事情发生的次数。事情发生的时间是可以忽略的。关注的是事件的发生。泊松分布是离散的变量。
这段时间是确定大小的，不是说某两件事件（不知何时发生）的间隔。

把连续的时间分割层无数小份，那么每个小份之间都是相互独立的。在每个很小的时间区间内，事情可能发生也可能不发生，因此这就是一个p很小的二项分布。连续的时间分成无数小份，也就意味着n很大，即：泊松分布是二项分布的一种极限形式。

此外，二项分布是最简单的发生于不发生的分布，那么与此关系密切的泊松分布自然在生活中很常见也可以理解了。

泊松分布中的lambda意义就是：一个时间段内时间平均发生的次数。

指数分布是两件事情发生的平均间隔时间，时间是连续变量。

看一道例子：
一机器在任何长为t的时间内出故障的次数是N(t)服从参数为lambda(意义为平均发生的次数)的泊松分布。
1）求两次相邻故障之间的时间间隔T的分布。

解释：由上面的知识可知，这个将服从指数分布。下面是具体计算。
$F_T(t > 0) = P{T <= t} = 1-P{T > t} = 1-P{N(t) = 0} = 1- {(lambda t)^0 over 0!}e^{-lambda t} = 1-e^{-lambda t}, t > 0$
$F_T(t leq 0) = 0$

所以得到的分布就是一个指数分布：

$F_T(t) = begin{cases} 1-e^{-lambda t}, &t gt 0 \ 0,& t leq 0 end {cases}$

2)在设备无故障工作8小时的情况下，再无故障工作8小时的概率。
解释：有了上面的分布再计算这个就很简单了。
$P(t geq 8+8 | t geq 8) = {P(t geq 16, tgeq 8) over P( tgeq 8)} = {1-P(t lt 16) over 1-P(tlt8)} = {1-F_T(16) over 1-F_T(8)} = e^{-8lambda} = P(t geq 8)$

由此可见无记忆性。

最后

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