压缩感知：一种新型亚采样技术

绿蚁新醅酒,红泥小火炉。晚来天欲雪,能饮一杯无?

[导读] 压缩感知（Compressed Sensing, CS）是近些年提出来的一种亚采样技术，其采样率远小于传统的奈奎斯特采样定理所需要的采样数，后者需要以不低于2倍信号的最高频率对信号进行采样才能完美重构原信息，而CS技术只需极少量的采样即可精确重建原始信号。2006年，David.L. Donoho和著名的华人数学天才、菲尔兹奖得主陶哲轩等人对CS理论进行了严格证明，搭建了完整的理论框架，自此以后，CS技术在信号处理、图像处理、通信、自动控制、人工智能等领域得到了广泛的研究与应用。压缩感知的研究内容主要可以分为三个部分，即信号的稀疏表示、测量矩阵的构造和重构算法。其中，重构算法作为CS技术的关键之一，影响着信号的重构复杂度和重构质量。接下来的几期，将为大家带来每种类别中最经典的压缩感知重构算法，并附上仿真代码和详细解说。同时，也欢迎各位亲爱的读者朋友们在后台留言，与作者互动讨论。

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1. 信号的稀疏表示

对于$N$维的信号$f$，可以表示为一组正交基向量${bf{Psi }} = { {{bf{psi }}_i}|i = 1,2, cdots N} $的线性组合：
$$\mathbf{f}=\mathbf{\Psi }\mathbf{x}(1)$$
其中$\mathbf{\Psi }\in {}^{N\times N}$称为稀疏基，$\mathbf{x}\in {}^{N\times 1}$为$f$在$\mathbf{\Psi }$ 变换域中的系数向量，如果$x$中只有$s$($s\ll N$)个元素不为零（或远大于零，而其他元素接近于零），则称$x$是$s$-稀疏的。

信号的稀疏表示如图1所示

图1 信号的稀疏表示

2. 信号的压缩采样（测量矩阵的构造）

用一个$M\times N(M<N)$的测量矩阵$\mathbf{\Phi }$对原信号$f$进行压缩采样，得到一个观测向量 $\mathbf{y}\in {}^{M\times 1}$，实现原信号的降维，此过程可以表示为：
$$\mathbf{y}=\mathbf{\Phi }\mathbf{\Psi }\mathbf{x}=\mathbf{A}\mathbf{x}(2)$$
其中$\mathbf{A}\in {}^{M\times N}$称为观测向量。对具体问题而言，$\mathbf{\Phi }$和$\mathbf{\Psi }$为已知，因此$\mathbf{A}$ 也已知，从而可以通过观测向量$\mathbf{y}$求得系数向量$\mathbf{x}$，然后再重构出原信号 。常用的测量矩阵有随机高斯矩阵，随机伯努利矩阵，及其他随机矩阵。

信号的压缩采样过程可以描述为图2：

3. 重构算法

由于$M<N$，（2）式是一个欠定方程，因此直接求解此方程是一个NP-hard问题。文献[6]证明了当系数向量 是$s$-稀疏且满足$s$阶有限等距性质（Restricted isometry property, RIP）时，能以很高的概率精确求得 $\mathbf{x}$，然后通过式（1）求得原信号。求解过程等价于求解如下优化问题：
$$\arg \underset{\mathbf{x}}{\min }{\Vert \mathbf{x}\Vert }_{0}s.t.\mathbf{y}=\mathbf{A}\mathbf{x}(3)$$
求解（3）式的过程称为信号的重建，信号的重建算法是压缩感知的关键问题之一，目前压缩感知重构算法主要可以分为基于${\ell }_0$范数的贪婪算法、基于${\ell }_1$范数的凸优化算法和组合算法等类别。

经典的重构算法罗列如下：

1. 基于${\ell }_0$范数的贪婪算法：

• 匹配追踪算法（Matching Pursuit, MP）
• 正交匹配追踪算法（Orthogonal Matching Pursuit, OMP）
• 正则化OMP算法（Regularized Orthogonal Matching Pursuit, ROMP）
• 压缩采样匹配追踪算法（Compressive Sampling Matching Pursuit CoSaMP）
• 子空间追踪算法（Subspace pursuit, SP）
• 分段正交匹配追踪算法
• 广义正交匹配追踪算法（Generalized Orthogonal Matching Pursuit, GOMP）
• …

2. 基于${\ell }_1$范数的凸松弛算法

• 基追踪（Basis Pursuit，BP)
• 基追踪降噪（Basis Pursuit DE-NOISING，BPDN）
• 最小角回归（Least Angle Regression，LAS）
• 近似消息传递（Approximate Message Passing，AMP）
• 迭代软阈值算法（Iterative Shrinkage Thresholding Algorithm, ISTA）
• 加速迭代软阈值算法（Fast Iterative Shrinkage Thresholding Algorithm, FISTA）
• …

3. 迭代硬阈值类算法

• 迭代硬阈值算法（Iterative Hard Thresholding, IHT）
• 正规化迭代硬阈值算法（Normalized Iterative Hard Thresholding, NIHT）
• 加速迭代硬阈值算法（Accelerated Iterative Hard Thresholding, AIHT）
• 共轭梯度迭代硬阈值算法（Conjugate Gradient Iterative Hard Thresholding, CGIHT）
• 基于回溯的迭代硬阈值迭代算法（Backtracking based Iterative Hard Thresholding, BIHT）
• 基于回溯的共轭梯度迭代硬阈值迭代算法（Conjugate Gradient based Backtracking Iterative Hard Thresholding, BIHT）
• …

4. 非凸优化算法

• 贝叶斯压缩感知（Bayesian Compressive Sensing，BCS）
• Focal Underdetermined System Solution (FOCUSS)
• Iterative Reweighted Least Squares (IRLS)
• …

CS重构算法分类树见图3

参考PPT

本文部分内容参考下列slide：

参考文献

[1] Donoho, David L. “Compressed sensing.” IEEE Transactions on information theory 52.4 (2006): 1289-1306.

[2] 张雁峰, 范西岸, 尹志益, 等. 基于回溯的共轭梯度迭代硬阈值重构算法[J]. 计算机应用, 2018: 0-0.

[3] Zhang Y, Huang Y, Li H, et al. Conjugate Gradient Hard Thresholding Pursuit Algorithm for Sparse Signal Recovery[J]. Algorithms, 2019, 12(2): 36.

[4] Marques E C, Maciel N, Naviner L, et al. A review of sparse recovery algorithms[J]. IEEE Access, 2018, 7: 1300-1322.

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最后

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