MATLAB学数值分析（二） 迭代法解线性方程组

一、高斯法和Doolitle法

高斯法和Doolitle法都比较简单，其实Doolitle可以直接用maltab里面的lu命令来求，下面重点讲一下迭代法

二、Jacobi迭代

1.算法实现

Jacobi迭代的伪代码如下：

2.收敛条件

3.matlab实现

根据以上的算法可以写出一个简单的jacobi迭代如下：

function x = jacobi(a,b,k)
n=length(b);
d=diag(a);
r=a-diag(d);
x=zeros(n,1);
for j = 1:k
x = (b-r*x)./d;
end

以上代码是最简单的写法，但是做题的时候一般要求把迭代过程给显示，这样写的话就不够完善，所以有以下拓展版
参数说明：
前两个变量为必选参量，分别问Ax=B的A和B，后三个参量为可选参量，分别为误差（默认为0.001），最大迭代次数（默认为1000），初始输入x矩阵（默认为零向量）p.s. 之后的Gauss迭代法和SOR法的参数都和Jacobi迭代法一样

function r = jacobi(A,B,varargin)
sizeA=size(A);
sizev=size(varargin);
if sizev(2) == 0
rol = 0.000001;
n = 1000;
x = zeros(sizeA(1),1);
elseif sizev(2) == 1
rol = varargin{1};
n = 1000;
x = zeros(sizeA(1),1);
elseif sizev(2) == 2
rol = varargin{1};
n = varargin{2};
x = zeros(sizeA(1),1000);
elseif sizev(2) == 3
rol = varargin{1};
n = varargin{2};
x = varargin{3};
else
error("输入参数过多");
end
for i = 2:n
for j = 1:sizeA(2)
sum1=0;
for k = 1:sizeA(1)
if j == k
continue;
end
sum1 = sum1 - x(k,i-1)*A(j,k)/A(j,j);
end
x(j,i)=B(j)/A(j,j)+sum1;
end
if any(abs(x(:,i)-x(:,i-1))>rol) == 0
break;
end
end
r = x;
end

4.结果展示

三、Gauss-Seidel迭代法

1.算法实现

Gauss-Seidel迭代法和Jacobi方法的位移差异是在前者中，最近更新的未知变量的值在每一步中都使用，即更新发生在当前步骤，举个例子方便例子。

构建的迭代公式如下：

算法的伪代码如下：

2.matlab实现

function r = Gauss_Seidel(A,B,varargin)
sizeA=size(A);
sizev=size(varargin);
if sizev(2) == 0
rol = 0.000001;
n = 1000;
x = zeros(sizeA(1),1);
elseif sizev(2) == 1
rol = varargin{1};
n = 1000;
x = zeros(sizeA(1),1);
elseif sizev(2) == 2
rol = varargin{1};
n = varargin{2};
x = zeros(sizeA(1),1000);
elseif sizev(2) == 3
rol = varargin{1};
n = varargin{2};
x = varargin{3};
else
error("输入参数过多");
end
for i = 2:n
for j = 1:sizeA(2)
sum1=0;
for k = 1:j
if j == k
continue;
end
sum1 = sum1 - x(k,i)*A(j,k)/A(j,j);
end
for k = j+1:sizeA(1)
sum1 = sum1 - x(k,i-1)*A(j,k)/A(j,j);
end
x(j,i)=B(j)/A(j,j)+sum1;
end
if any(abs(x(:,i)-x(:,i-1))>rol) == 0
break;
end
end
r = x;
end

3.结果展示

四、逐次超松弛(SOR)迭代法

1.算法实现

SOR方法使用Gauss-Seidel迭代法的求解方向，并使用过松弛以加快收敛速度，令w是一个实数，并将新的估计中的每个元素xk+1定义为w乘上Gauss-Seidel公式和1-w乘当前估计xk的平均，同样举个例子帮助理解：

迭代公式如下：

算法伪代码如下：

2.matlab实现

function r = SOR(A,B,w,varargin)
sizeA=size(A);
sizev=size(varargin);
if sizev(2) == 0
rol = 0.000001;
n = 1000;
x = zeros(sizeA(1),1);
elseif sizev(2) == 1
rol = varargin{1};
n = 1000;
x = zeros(sizeA(1),1);
elseif sizev(2) == 2
rol = varargin{1};
n = varargin{2};
x = zeros(sizeA(1),1000);
elseif sizev(2) == 3
rol = varargin{1};
n = varargin{2};
x = varargin{3};
else
error("输入参数过多");
end
for i = 2:n
for j = 1:sizeA(2)
sum1=0;
for k = 1:j
if j == k
sum1 = sum1 - w*(1-1/w)*x(k,i-1);
continue;
end
sum1 = sum1 - w*x(k,i)*A(j,k)/A(j,j);
end
for k = j+1:sizeA(1)
sum1 = sum1 - w*x(k,i-1)*A(j,k)/A(j,j);
end
x(j,i)=w*B(j)/A(j,j)+sum1;
end
if any(abs(x(:,i)-x(:,i-1))>rol) == 0
break;
end
end
r = x;
end

最后

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