信息论与电视屏幕显示（涉及数据通信原理的信息传输速率Rb）

• 选自《信息论（第四版）——基础理论与应用》傅祖芸编著$P67-P68,2.12,2.13,2.14$，解答抄答案
• $2.12(1)$ 为了使电视图像获得良好的清晰度和规定的适当的对比度，需要用 $5\times 10^5$ 个像素和 $10$ 个不同亮度的电平，求传递此图像所需的信息率（比特/秒）。并设每秒传输 $30$ 帧图像，所有像素是独立变化的，且所有亮度电平等概率出现。
• $2.12(2)$ 设某彩电系统，除了满足对于黑白电视系统的上述要求外，还必须有 $30$ 个不同亮度的色彩，试证明传输这彩色系统的信息率要比黑白系统信息率约大 $2.5$ 倍。

• 解答：
  为了使电视图像获得良好的清晰度和适当的对比度，每帧图像需用 $5\times 10^5$ 个像素来表示，而每个像素的亮度值发成 $10$ 个不同的亮度电平，这样每帧电视图像成为了离散的数字图像。对于每一个像素的空间取值是随机的，但所有亮度电平是等概率出现，则可得每个像素亮度信源得概率空间为

$$\left[\begin{array}{c}X\text{X}X\\ P(a_i)\end{array}\right]=\left[\begin{array}{ccc}{a}_1,& a_2,& \cdots ,a_{10}\\ 1/10,& 1/10,& \cdots ,1/10\end{array}\right]\sum _{i=1}^{10}P(a_i)=1$$

• 每个像素含有的信息量为
  $$H(X\text{X}X)=log10\approx 3.32比特/像素$$
  现在，所有像素是独立变化的、是统计独立的，则每帧图像信源就是离散亮度信源的无记忆的 $N$ 次扩展信源。可得，每帧图像所含有的信息量为
  $$\begin{array}{rl}H({X\text{X}X}^N)& =NH(X\text{X}X)\\ & =5\times 10^5\times log10\\ & \approx 1.66\times 10^6比特/帧\end{array}$$
  而设每秒传送 $30$ 帧图像，则传递此图像所需的信息率为
  $$\begin{array}{rl}{R}_b& =30\times H({X\text{X}X}^N)\\ & \approx 4.98\times 10^7比特/秒\end{array}$$
• 证明：
  每个像素具有亮度和色彩度有 $10$ 个不同的亮度电平，和 $30$ 个不同的彩色度。由前已计算得亮度电平等概率出现情况下，每个像素含有的信息量是 $H(X\text{X}X)=log10\approx 3.32比特/像素$。每个像素的色彩度也设等概率出现，则色彩度信源的概率空间为
  $$\left[\begin{array}{c}Y\text{Y}Y\\ P(b_j)\end{array}\right]=\left[\begin{array}{ccc}{b}_1,& b_2,& \cdots ,b_{30}\\ 1/30,& 1/30,& \cdots ,1/30\end{array}\right]\sum _{j=1}^{30}P(b_j)=1$$
  每个像素色彩度含有的信息量为
  $$H(Y\text{Y}Y)=log30\approx 4.91比特/像素$$
  而亮度与色彩度是彼此独立事件，所以亮度与色彩度同时出现，每像素含有的信息量为
  $$H(XY\text{XY}XY)=H(X\text{X}X)+H(Y\text{Y}Y)\approx 8.23比特/像素$$
  当在每帧所用像素数和每秒传送帧数都相同的情况下，则传输这彩色系统的信息率与传输黑白系统的信息率之比就等于彩色系统每像素含有的信息量与黑白系统每像素含有的信息量之比，即
  $$\frac{H(XY\text{XY}XY)}{H(X\text{X}X)}=\frac{log300}{log10}\approx 2.5$$
  则证得传输这彩色系统的信息率是传输黑白系统的信息率的 $2.5$ 倍。

• $2.13$ 每帧电视图像可以认为是由 $3\times 10^5$ 个像素组成，所以像素均是独立变化的，且每一个像素又取 $128$ 个不同的亮度电平，并设亮度电平等概率出现。问每帧图像含有多少信息量？若现一广播员在约 $10000$ 个汉字的字汇中选 $1000$ 个字来口述此电视图像（假设汉字字汇是等概率分布，并彼此无依赖），试问广播员描述此图像所广播的信息量是多少？若要恰当地描述此图像，广播员在口述中至少需要多少汉字？
• 设电视图像每个像素取 $128$ 个不同的亮度电平，并设电平等概率出现，每个像素的亮度信源为
  $$\left[\begin{array}{c}X\text{X}X\\ P(a_i)\end{array}\right]=\left[\begin{array}{ccc}{a}_1,& a_2,& \cdots ,a_{128}\\ 1/128,& 1/128,& \cdots ,1/128\end{array}\right]\sum _{i=1}^{128}P(a_i)=1$$
  得每个亮度含有的信息量为
  $$H(X\text{X}X)=log128=7比特/像素$$
  一帧中像素均是独立变化的，则每帧图像信源就是离散亮度信源的无记忆 $N$ 次扩展信源。得每帧图像含有的信息量为
  $$H({X\text{X}X}^N)=NH(X\text{X}X)=3\times 10^5\times 7=2.1\times 10^6比特/每帧$$
• 广播口述时，广播员是从 $10000$个汉字字汇中选取的，假设汉字字汇等概率分布，则汉字字汇信源是
  $$\left[\begin{array}{c}Y\text{Y}Y\\ P(b_j)\end{array}\right]=\left[\begin{array}{ccc}{b}_1,& b_2,& \cdots ,b_q\\ 1/q,& 1/q,& \cdots ,1/q\end{array}\right]\sum _{j=1}^{q}P(b_j)=1,q=10000$$
  得该汉字字汇中每个汉字含有的信息量
  $$H(Y\text{Y}Y)=log10000=13.29比特/字$$
  广播员口述电视图像是从此汉字字汇信源中独立地选取 $1000$ 个字来描述。所以，广播员描述此帧图像所广播的信息量为
  $$H({Y\text{Y}Y}^N)=NH(Y\text{Y}Y)=1000\times 13.29=1.329\times 10^4比特/千字$$
• 若广播员仍从此汉字字汇信源 $Y$ 中独立地选取汉字来描述电视图像，每次口述一个汉字含有信息量是 $H(Y\text{Y}Y)$，每帧电视图像含有的信息量是 $H({X\text{X}X}^N)$，则广播员口述此图像至少需用的汉字数等于
  $$\frac{H({X\text{X}X}^N)}{H(Y\text{Y}Y)}\approx \frac{2.1\times 10^6比特/每帧}{13.29比特/每字}\approx 1.58\times 10^5字\approx 158000字$$
• 据本题计算可知，电视图像含有的信息量比广播员口述含有的信息量要多得多。本题使我们从信息量计算的角度来进一步理解日常生活中，为什么比听广播而言人们更喜爱看电视。

• $2.14$ 为了传输一个由字母 $A,B,C,D$ 组成地符号集，把每个字母编码成两个二元码脉冲序列，以 $00$ 代表 $A$，以 $01$ 代表 $B$，以 $10$ 代表 $C$，以 $11$ 代表 $D$。每个二元码脉冲宽度为 $5ms$。
  (1) 不同字母等概率出现时，计算传输的平均信息速率
  (2) 若每个字母出现的概率分别为 $P_A=1/5,P_B=1/4,P_C=1/4,P_D=3/10$，试计算传输的平均信息速率。

关键理解 每个二元码脉冲宽度为 $5ms$ 的含义

• 不同字母等概率出现时，符号集的概率空间为
  $$\left[\begin{array}{c}X\text{X}X\\ P(a_i)\end{array}\right]=\left[\begin{array}{cccc}A& B& C& D\\ 1/4& 1/4& 1/4& 1/4\end{array}\right]$$
  平均每个字母含有的信息量
  $$H(X\text{X}X)=log4=2比特/符号$$
  现在用两个二元码脉冲代表一个字母，每个二元码脉冲宽度为 $\tau =5ms$，则每个字母占用时间 $t=2\tau =10ms$。一秒可以传输的字母个数为
  $$n=\frac{1}{t}=100字母/秒$$
  得传输的平均信息速率为
  $$R_b=nH(X\text{X}X)=200比特/秒$$
• 字母出现概率不同时，根据题意其概率空间为
  $$\left[\begin{array}{c}X\text{X}X\\ P(a_i)\end{array}\right]=\left[\begin{array}{cccc}A& B& C& D\\ 1/5& 1/4& 1/4& 3/10\end{array}\right]\sum _{i=1}^{4}P(a_i)=1$$
  得此时每个字母含有的平均信息量
  $$\begin{array}{rl}H(X\text{X}X)& =-\sum _{i=1}^{4}P(a_i)logP(a_i)\\ & =-(\frac{1}{5}log\frac{1}{5}+\frac{1}{4}log\frac{1}{4}+\frac{1}{4}log\frac{1}{4}+\frac{3}{10}log\frac{3}{10})\\ & \approx 1.985比特/符号\end{array}$$
  同理计算得传输的平均信息速率为
  $$R_b=nH(X\text{X}X)=1.985\times 10^2比特/秒$$

最后

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