信噪比（一些概念，公式推导，实验分析）

文章解释了几个简单的信噪比公式并给出了相关推导和实验分析

Signal-to-noise ratio 概念

信噪比定义为信号能量与噪声能量的比值:
${displaystyle mathrm {SNR} ={frac {P_{mathrm {signal} }}{P_{mathrm {noise} }}}}$
P是一个平均能量，信号与噪声的能量必须在同一个系统下测量，且保证一定的系统带宽.

如果信号和噪声的方差已知，且信号是0均值。
${displaystyle mathrm {SNR} ={frac {sigma _{mathrm {signal} }^{2}}{sigma _{mathrm {noise} }^{2}}}.}$

如果信号和噪声时在同一条件下测得，那么也可以通过计算幅值平方比值获得信噪比
${displaystyle mathrm {SNR} ={frac {P_{mathrm {signal} }}{P_{mathrm {noise} }}}=left({frac {A_{mathrm {signal} }}{A_{mathrm {noise} }}}right)^{2},}$

推导

$P_{{mathrm {signal,dB}}}=10log _{{10}}left(P_{{mathrm {signal}}}right)$

${displaystyle P_{mathrm {noise,dB} }=10log _{10}left(P_{mathrm {noise} }right).}$

${displaystyle mathrm {SNR_{dB}} =10log _{10}left(mathrm {SNR} right).}$

${displaystyle mathrm {SNR_{dB}} =10log _{10}left({frac {P_{mathrm {signal} }}{P_{mathrm {noise} }}}right).}$

${displaystyle 10log _{10}left({frac {P_{mathrm {signal} }}{P_{mathrm {noise} }}}right)=10log _{10}left(P_{mathrm {signal} }right)-10log _{10}left(P_{mathrm {noise} }right).}$

${displaystyle mathrm {SNR_{dB}} ={P_{mathrm {signal,dB} }-P_{mathrm {noise,dB} }}.}$

${displaystyle mathrm {SNR_{dB}} =10log _{10}left[left({frac {A_{mathrm {signal} }}{A_{mathrm {noise} }}}right)^{2}right]=20log _{10}left({frac {A_{mathrm {signal} }}{A_{mathrm {noise} }}}right)=left({A_{mathrm {signal,dB} }-A_{mathrm {noise,dB} }}right).}$

实验分析

通过信号输入，加噪，观察加噪时sigma选择的准确性，以及信号能量，噪声信号能量，顺便验证帕塞瓦尔能量定律。

nois = sqrt(sigma)*randn(size(s));
sn = s+nois;
temps = sum(s.^2)/2^N;
tempsn = sum(sn.^2)/2^N;
display(sigma);
tempvs = var(s')
tempvsn = var(sn')
tempd = tempsn-temps
tempfs = fft(s);
tempfsn = fft(sn);
tempfsf = sum(abs(tempfs./2^N).^2)
tempfsnf  =sum(abs(tempfsn./2^N).^2)
tempdf  = tempfsnf - tempfsf

代码说明：s为输入信号（随意选择）,sn为带噪信号,平台为matlab 2015a，这里的sigma实则为$sigma^2$

结果展示：

sigma =

    0.1000


tempd =

    0.0971


tempfsf =

    0.9990


tempfsnf =

    1.0961


tempdf =

    0.0971

K>> tempvs = var(s')%验证用方差计算能量的正确性
tempvsn = var(sn')

tempvs =

    1.0000


tempvsn =

    1.0972

证毕

讲究匠心，追求卓越！

最后

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