均匀分布的公交站等车问题

小森在公交站等车，有三路公交车均可乘坐到达目的地。A 公交车到站的时间为 0 到 10 分钟内的任一时间点，且服从 [0, 10] 的均匀分布。同样地，B 公交车到站的时间为 0 到 20 分钟内的任一时间点，C 公交车到站的时间为 0 到 30 分钟内的任一时间点。求问小森的平均等车时间？

1. 只有两辆公交车的情况

三辆公交车分析起来比较复杂，我们可以试着先考虑只有两辆公交车的情况，弄明白了这种情况下的平均等车时间，我们自然而然就很容易推广到三辆公交车的情形。

设公交车 A 到站的时间为随机变量 $X$，那么 $X$ 的取值范围为 [0, 10]，其概率密度函数为：

$$f_X(x)=\frac{1}{10},0⩽x⩽10$$

同理，设公交车 B 到站的时间为随机变量 $Y$，那么 $Y$ 的取值范围为 [0, 20]，其概率密度函数为：

$$f_Y(y)=\frac{1}{20},0⩽y⩽20$$

小森的等待时间为随机变量 $S$，易知 $S=min(X,Y)$，也即等待时间为公交车内 A、B 到站时间的较小者。其概率密度函数则为：

$$f_S(s)=\{\begin{array}{l}\frac{1}{10},s=min(x,y)=x\to x⩽y\\ \frac{1}{20},s=min(x,y)=y\to x>y\end{array}$$

平均等待时间即为 $S$ 的期望，

$$E[S]=\int f_S(s)sds={\int }_0^{10}\frac{1}{20}\left({\int }_0^y\frac{1}{10}xdx\right)dy+{\int }_{10}^{20}\frac{1}{20}\left({\int }_0^{10}\frac{1}{10}xdx\right)dy+{\int }_0^{10}\frac{1}{10}\left({\int }_0^x\frac{1}{20}ydy\right)dx$$

上式前两项代表 $x⩽y$ 的情况，最后一项代表 $x>y$ 的情况。

也可以写成下面这样的形式，

$$E[S]=\int f_S(s)sds={\int }_0^{10}\frac{1}{10}({\int }_0^x\frac{1}{20}ydy+{\int }_x^{20}\frac{1}{20}xdy)dx$$

外层积分代表 $X$ 是 [0, 10] 上的均匀分布，内层积分的第一部分代表 $x>y$ 的情况，第二部分代表 $x⩽y$ 的情况。

最后求得 $E[X]=\frac{25}{6}\approx 4.1667$，也即小森的平均等车时间为 4.1667 分钟。

import numpy as np
sample_num = 1000000
a = np.random.uniform(0, 10, sample_num) # 生成一个 [0, 10] 的均匀分布
b = np.random.uniform(0, 20, sample_num) # 生成一个 [0, 20] 的均匀分布
for i in range(a.shape[0]):
a[i] = min(a[i], b[i])
print(np.mean(a)) # 期望值，4.167499895337278

用程序随机生成数据验证后，也可得到近似的值。

2. 三辆公交车的情况

如果再增加一辆公交车 C，其到站的时间为随机变量 $Z$，那么 $Z$ 的取值范围为 [0, 30]，其概率密度函数为：

$$f_Z(z)=\frac{1}{30},0⩽x⩽30$$

则 $S=min(X,Y,Z)$，也即等待时间为公交车内 A、B、C 到站时间的较小者。其概率密度函数则为：

$$f_S(s)=\{\begin{array}{l}\frac{1}{10},s=min(x,y,z)=x\\ \frac{1}{20},s=min(x,y,z)=y\\ \frac{1}{30},s=min(x,y,z)=z\end{array}$$

平均等待时间即为 $S$ 的期望，

$$E[S]=\int f_S(s)sds={\int }_0^{10}\frac{1}{10}\left({\int }_0^x\frac{1}{20}\right[{\int }_0^y\frac{1}{30}zdz+{\int }_y^{30}\frac{1}{30}ydz]dy+{\int }_x^{20}\frac{1}{20}[{\int }_0^x\frac{1}{30}zdz+{\int }_x^{30}\frac{1}{30}xdz\left]dy\right)dx$$

最外层积分代表 $X$ 是 [0, 10] 上的均匀分布，中间层积分代表 $Y$ 是 [0, 20] 上的均匀分布，最内层四部分分别代表 $x>y\&\&y>z$、$x>y\&\&y<z$、$x<y\&\&x>z$ 和 $x<y\&\&x<z$四种情况。

最后求得 $E[X]=3.75$，也即小森的平均等车时间为 3.75 分钟。

import numpy as np
sample_num = 1000000
a = np.random.uniform(0, 10, sample_num) # 生成一个 [0, 10] 的均匀分布
b = np.random.uniform(0, 20, sample_num) # 生成一个 [0, 20] 的均匀分布
c = np.random.uniform(0, 30, sample_num) # 生成一个 [0, 30] 的均匀分布
for i in range(a.shape[0]):
a[i] = min(a[i], b[i])
a[i] = min(a[i], c[i])
print(np.mean(a)) # 期望值，3.748124747694317

用程序随机生成数据验证后，也可得到近似的值。

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最后

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