闭环系统的零极点图判定稳定性_波特图

开环特性分析闭环系统的稳定性时会用到波特图，波特图很直观，比如分析运放的开环特性。根据系统传递函数求得的电压增益和相位随着频率变化曲线，其横纵坐标参数及其单位见表1.1所示。

在波特图中，每碰到一个极点，增益曲线以斜率-20dB/dec下降。而相位曲线在极点附近的斜率是-45度/dec，从0.1倍极点处开始下降，至极点处下降45度，至10倍极点处下降90度，然后相位保持不变至下一个极点。每碰到一个极点，增益曲线的斜率在累加，而相位曲线的斜率始终是-45度/dec。

相位裕度(phase margin, PM)，增益曲线下降为1(或0dB)时，相位的变化值(相对于直流增益的相位)与180度的距离。

增益裕度(gain margin, GM)，相对于直流增益的相位，相位的变化值为180度时，增益与0dB的距离。

单位增益带宽(unity gain bandwidth)，增益曲线下降为1(或0dB)时所对应的频率。一般来说，开环系统带宽是指-3dB带宽，而闭环系统带宽是指单位增益带宽。

增益带宽积(gain-bandwidth product, GBW or GBP)，增益(比值，无量纲)与带宽(单位为Hz)的乘积。

单位增益带宽与增益带宽积的关系？

如果是单极点的系统，单位增益带宽和增益带宽积相等。如果是多极点系统，单位增益带宽小于增益带宽积。推导过程如下。假设在(f1,a1)和(f2,a2)处增益带宽积相同，则有

-----------------------------------------------------------------------------------公式1.1

-----------------------------------------------------------------------------------公式1.2

当且仅有在公式1.2中，增益曲线的斜率为k=-20dB/dec时，才能满足公式1.1。

如果相位裕度为45度，单位增益带宽正好位于第二个极点P2，如图1.1所示。该增益曲线在第二极点(单位增益带宽)之前可以看成是单极点系统。因此有，

如果相位裕度要大于45度，单位增益带宽/GBW要低于第二个极点P2。

双极点系统，提高相位裕度的方法有二：其一，拉大第二极点P2与主极点P1的距离，二者距离越远相位裕度越好，降低主极点P1的位置，或者提高第二极点P2的位置；其二，降低DC gain，DC gain越低，在第一个极点P1之后，增益就越早降至0dB，相位裕度越好。

极点多见左半平面极点。

零点有左半平面零点和右半平面零点。每碰到一个左半平面零点，增益曲线以斜率+20dB/dec增加，相位曲线在左半平面零点附近的斜率是+45度/dec，从0.1倍零点处开始上升，零点处上升了45度，10倍零点处上升了90度。每碰到一个右半平面零点，增益曲线以斜率+20dB/dec增加，相位曲线在右半平面零点附近是-45度/dec，从0.1倍零点处开始下降，零点处下降了45度，10倍零点处下降了90度。

在原本只有双极点的系统里，增加零点会怎样？相位裕度/增益裕度/单位增益带宽

如果增加右半平面零点，增益增加，相位下降，恶化了相位裕度和增益裕度。因此应该尽量避免右半平面零点。同时单位增益带宽增加。

如果增加左半平面零点。如果左半平面零点与次极点P2位置相同，相互抵消，系统相当于单极点系统，提高相位裕度。同时单位增益带宽增加。如果左半平面零点的位置低于次极点P2，碰到零点时，增益曲线不再下降，斜率变为0，而相位曲线已增加45度，能起到补偿作用，提高相位裕度，其实可以理解是在补偿主极点。如果左半平面零点的位置略高于次极点P2的位置，但是低于单位增益带宽，还是能起到一定的补偿作用。因此，只要是左半平面零点的位置低于单位增益带宽，就能起到提高相位裕度的目的。

电压增益为什么用20log处理？采用对数的目的是在波特图上能完整直观地显示。系数乘以20的目的是为了与功率对应起来。