摘要

本文是《科学计算与MATLAB语言》专题七第1小节的学习笔记，如果大家有时间的话，可以去听听课，没有的话，可以看看我的笔记，还是很不错的。从符号对象的建立、运算到符号矩阵的运算，本文都有详细的记录，每个代码我都跑过一遍，可以直接复制到MATLAB中运行。

1 符号对象

1.1 符号对象的建立

（1）sym函数
sym函数用于建立单个符号对象，其常用调用格式为：
符号对象名=sym（A）
将由A来建立符号对象。其中，A可以是一个数值常量、数值矩阵或数值表达式$（不加单引号）$此时符号对象为一个$符号常量$；A也可以是一个变量名$（加单引号）$，这时符号对象为一个$符号变量$。
感受以下程序：
例1：

t=sym(2);
t+1/2

结果为一个数学表达式-分式。

ans=
5/2

例2：

sin(sym(pi/3))

ans=
3^(1/2)/2

结果为一个数学表达式
例2.2：

sin(pi/3)

ans=
0.8660

结果为一个数值
例3：

a=5;
b=-8;
x=sym('a');
y=sym('b');
w=(a+b)*(a-b)

w=
-39

在例3的基础上增加一条语句

a=5;
b=-8;
x=sym('a');
y=sym('b');
w=(a+b)*(a-b)
s=(x+y)*(x-y)

w=
-39
s=
(a+b)*(a-b) 

b=-8;
x=sym('a');
y=sym('b');
w=(a+b)*(a-b);
s=(x+y)*(x-y);
eval(s)%将S转化为MATLAB可以执行的语句并运行。

ans=
-39

由以上的例子我们可以看出：
1 符号计算的结果是一个精确的数学表达式。
2 数值计算的结果是一个数值。

（2）syms命令
syms命令可以一次定义多个符号变量，其一般调用格式如下：
syms符号变量名1 符号变量名2 … 符号变量名n
其中，变量名不能加$单引号$，相互之间用空格隔开。
例如，要同时定义四个符号变量a、b、c、d，则可以输入如下命令：

syms a b c d

1.2 符号对象的运算

（1）四则运算
符号表达式的四则运算与数值运算一样，用$+、一、\ast 、/、$运算符实现，其运算结果依然是一个符号表达式。例如：

f=2*x~2+3*x-5；
g=x~2-x+7；
f+g 

ans=
3*x~2+2*x+2

f=2*x~2+3*x-5;
g=x~2-x+7;
f+g 

ans=
3*x~2+2*x+2

（2）关系运算
6种关系运算符：$<、\le 、>、\ge 、==、\ne 。$
对应的6个函数：lt(）、le(）、gt(）、ge（）、eq（）、ne(）。
若参与运算的是符号表达式，其结果是一个符号关系表达式；若参与运算的是符号矩阵，其结果是由符号关系表达式组成的矩阵。
在进行符号对象的运算前，可用assume函数对符号对象设置值域，函数调用格式为：
assume（condition）
assume（expr，set）
第一种格式指定变量满足条件condition，
第二种格式指定表达式expr属于集合set。

syms x ;
assume(x<0);
abs(x)==x %求x的绝对值。

ans=
-x == x

因为x<0，所以abs（x）的值为-x。

assume(x,'positive');
abs(x)==x 

ans=
x == x

因为x为正数，所以abs（x）的值为x。
（3）逻辑运算
3种逻辑运算符：&（与）、|（或）和~（非）。
4个逻辑运算函数：and(a,b)、or(a,b)、not(a)和xor(a,b)。

syms x;
y=x>0&x<10

y =
0 < x & x < 10

syms x;
y=and(x>0,x<10)

y =
0 < x & x < 10

两个结果相同。
（4）因式分解与展开运算
MATLAB提供了符号表达式的因式分解与展开的函数，函数的调用格式为：
①factor（s）：对符号表达式s分解因式。
②expand（s）：对符号表达式s进行展开。
③collect（s）：对符号表达式s合并同类项。
④collect（s，v）：对符号表达式s按变量v合并同类项。

syms a b;
s=a^3-b^3;
factor(s)

ans =
[ a - b, a^2 + a*b + b^2]

factor(12)

ans =
     2     2     3

梅森素数的验证问题
所谓梅森数，是指形如2-1的一类整数，其中指数p是素数。将梅森数记为M。如果梅森数是素数，就称为梅森素数。
$素数又叫质数，是指在大于1的自然数中，除了1和它本身以外不再有其他因数的自然数。$
请验证M19、M23、M29、M31是否为梅森素数。

syms p;
m=2^p-1;
p=19;
m19=eval(m)
factor(m19)

m19 =
      524287
ans =
      524287

$$\begin{gathered} 结果显示M19是梅森素数。 \\ 同理可得M23、M29、M31的结果,结果如下： \end{gathered}$$

m23 =
     8388607
ans =
          47      178481

$结果显示，M23不是梅森素数。$

m29 =
   536870911
ans =
         233        1103        2089

$结果显示，M29不是梅森素数。$

m31 =
   2.1475e+09
ans =
   2.1475e+09

$结果显示，M31是梅森素数。$
（5）其他运算
①提取有理分式的分子分母：
[n,d]=numden（s）
②提取符号表达式的系数：
c=coeffs（s，x）
③符号表达式化简：
simplify（s）
④符号多项式与多项式系数向量之间的转换：
符号多项式转换为多项式系数向量：p=sym2poly（s）
多项式系数向量转换为符号多项式：s=poly2sym（p）

syms a b c x;
f=a*x^2+b*x+c
g=coeffs(f,x)

f = 
a*x^2 + b*x + c 
g =
[ c, b, a]

syms a b c x;
f=a*x^2+b*x+c
g=coeffs(f,x);
g=g(end:-1:1)
roots(g)

g =
 [ a, b, c] 
ans =
 -(b + (b^2 - 4*a*c)^(1/2))/(2*a)
 -(b - (b^2 - 4*a*c)^(1/2))/(2*a)

（6）符号运算中变量的确定
①如果没有明确指定自变量，MATLAB将按以下原则确定主变量并对其进行相应运算：寻找除i、j之外，在字母顺序上最接近x的小写字母。若表达式中有两个符号变量与x的距离相等，则ASCII码大者优先。
②symvar（）函数可以用于查找一个符号表达式中的符号变量，函数的调用格式为：
$symvar（s，n）$
函数返回符号表达式s中的n个符号变量。因此，可以用symvar（s，1）查找表达式s的主变量。

1.3 符号矩阵

符号矩阵也是一种符号表达式，所以符号表达式运算都可以在矩阵意义下进行。
$注意：这些函数作用于符号矩阵时，是分别作用于矩阵的每一个元素。$
例如：建立符号矩阵并化简。
$$\left[\begin{array}{cc}{a}^3-b^3& si{n}^2(a)+co{s}^2(a)\\ \frac{15xy-3x^2}{x-5y}& 78\end{array}\right]$$

syms a b x y alp;
m=[a^3-b^3,sin(alp)^2+cos(alp)^2;(15*x*y-3*x^2)/(x-5*y),78]
simplify(m)

m = 
[                    a^3 - b^3, cos(alp)^2 + sin(alp)^2]
[ (- 3*x^2 + 15*y*x)/(x - 5*y),                      78]
 
 
ans = 
[ a^3 - b^3,  1]

例2当入取何值时，以下齐次线性方程组有非零解。
$$\{\begin{array}{rl}(1-\lambda )x_1-2x_2+4x_3& =0\\ 2x_1+(3-\lambda )x_2+x_3& =0\\ x_1+x_2+(1一\lambda )x_3& =0\end{array}$$
对于齐次线性方程组Ax=0，当rank（A）<n或|A|=0时，齐次线性方程组有非零解。

syms lambda; 
A=[1-lambda,-2,4;...
    2,3-lambda,1;...
    1,1,1-lambda]; 
D=det(A);
factor(D)

ans = 
[ -1, lambda, lambda - 2, lambda - 3]

$从而得知，当\lambda =0、\lambda =2或\lambda =3时，原方程组有非零解。$

结语

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最后

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