动态规划及相关例题

一、定义

动态规划算法是通过拆分问题，定义问题状态和状态之间的关系，使得问题能够以递推（或者说分治）的方式去解决。动态规划与分治法类似，也是将待求解的问题分解为若干个子问题（阶段），按顺序求解子阶段，前一子问题的解，为后一子问题的求解提供了有用的信息。在求解任一子问题时，列出各种可能的局部解，通过决策保留哪些有可能达到最优的局部解，丢弃其他的局部解。一次解决各子问题，最后一个子问题就是初始问题的解。

二、动态规划适用情况

如果要求一个问题的最优解（通常是最大值或者最小值），而且该问题能够分解成若干个子问题，并且小问题之间也存在重叠的子问题，则考虑采用动态规划。

三、使用动态规划具体步骤

我们把下面成为动态规划五部曲：
判断提议是否

1. 判断题意是否为找出一个问题的最优解；
2. 从上往下分析问题，大问题可以分解为子问题，子问题中还有更小的子问题；
3. 从下往上分析问题，找出这些问题之间的关联（状态转移方程）；
4. 讨论底层的边界问题；
5. 解决问题（通常使用数组进行迭代求出最优解）。

四、相关例题分析

前面说的迷迷糊糊，通过举例应该就能亲切的感受到动态规划如何解决一个问题了：

问题1：剪绳子（剑指offer第二版，面试题14）

问题描述：给你一根长度为n的绳子，请把绳子剪成m段（m和n都是整数，n>1且m>1），每段绳子的长度记为k[0]，k[1]，k[2]，…k[m]，请问k[0]*k[1]k[2]…*k[m]可能的最大乘积是多少？
**例如：**当绳子长度为8时，需要剪成3段，使得最后得到的乘积最大，我们把它剪成长度分别为2,3,3，此时得到的最大乘积是18。
看完题目，我们使用上面提到的“动态规划五部曲”解决问题
1、判断题意是否为找出一个问题的最优解
看到字眼是“可能的最大乘积是多少”，判断是求最优解问题，可以用动态规划解决；
2、从上往下分析问题，大的问题可以分解为子问题，子问题中还有更小的 子问题
题目中举了例子：当绳子的长度为8时，我们把它剪成长度分别为2,3,3，此时得到的最大乘积是18；我们可以从这里开始突破，把长度为8的绳子的最大乘积分解为数个子问题，长度为8的子问题可以把它看成长度为1和7的绳子的和，或者长度为2和6的绳子的和，或者长度为3和5的绳子的和，依次推类。
3、从下往上分析问题，找出这些问题之间的关联（状态转移方程）
在第二步的时候，我们已经从上到下分析问题了，现在我们要从下往上分析问题了。首先当绳子长度为8时，定义该问题的解为f(8)，则f(8)的值就是f(1)*f(7)，f(2)*f(6)，f(3)*f(5)，f(4)*f(4)他们之中的最大值，即f(8)=Max{f(1)*f(7)，f(2)*f(6)，f(3)*f(5)，f(4)*f(4)}，则只要知道f(1)到f(7)的值就能求出f(8)，同理，对于f(7)，只要知道f(1)到f(6)的值就能求出f(7)，对于f(6)，只要知道f(1)到f(6)的值就能求出f(6)，依次类推，我们只要知道前面几个边界的值，就能后一步步迭代出后续的结果。
根据以上分析，可以推导出的状态转移方程（或者叫迭代规律）为：f(n)=Max{f(n-i)*f(i)} (i={1,2,3,…,n/2})。
4、讨论底层的边界问题

底层的边界问题说的就是最小的前几个数值的f(n)的值，本题中就是f(0)、f(1)、f(2)、f(3)的值：
对于f(0)，长度为0的绳子，没办法剪，没有意义；
对于f(1)，长度为1的绳子，没办法剪，设为1；
对于f(2)，长度为2的绳子，只有一种剪法，剪成两段长度为1的绳子，但剪后的乘积为1，比自身更小；如果不是求自身的值，要求乘积最大值的话就没必要剪；
对于f(3)，长度为3的绳子，只有一种剪法，剪成两段长度为1和2的绳子，但剪后的乘积为2，比自身更小；如果不是求自身的值，要求乘积最大值的话也没必要剪。
5、解决问题
这一步就是编写代码了：

public static int cutting(int n){
	//长度小于或等于1没法剪
	if(n<=1){return 0;}
	//对于长度为2的绳子，只有一种剪法，剪成两段长度为1的绳子，剪后乘积为1
	if(n==2){return 1;}
	//对于长度为3的绳子，只有一种剪法，剪成两段分别为1和2的绳子，但剪后的乘积为2
	if(n==3){return 2;}
	int max=0;
	//数组勇于存储绳子乘积最大值
	int[] value=new int[n+1];
	value[0]=0;
	value[1]=1;
	//剪后的乘积为1，比自身更小；如果不是求自身的值，要求乘积最大的话，就没必要剪了
	value[2]=2;
	//剪后的乘积为2，比自身更小；如果不是求自身的值，要求乘积最大值的话也没必要剪了
	value[3]=3;
	//从f(4)开始迭代
	for（int i=4;i<=n;i++）{
		int max=0;
		for(int j=1;j<=i/2;j++){
			int val=value[j]*value[i-j];
			max=val>max?val:max;
		}
		value[i]=max;
	}
	max=value[n];
	return max;
}

以上就是该问题的答案，感觉应该说的比较清楚了。

问题2：跳台阶问题

**问题描述：**一只青蛙一次可以跳上1级台阶，也可以跳上2级台阶。求该青蛙跳上一个n阶台阶总共有多少种跳法。
针对该问题，依旧使用“动态规划五部曲”进行分析：
1、判断题意是否为找出一个问题的最优解
这个确实有点模糊，但是涉及到“总共”，“最多”，“最大”，“最小”这样的字眼，一般可以认为是求最优解问题都没错。（自己的理解，欢迎批评指正）
2、从上往下分析问题，大的问题可以分解为子问题，子问题中还有更小的子问题
题目中没有给例子，我们可以自己举点例子。例如，跳上一个6级的台阶，有多少种跳法；由于青蛙最后一次可以跳两阶，也可以跳一阶，所以我们可以分成两个情况：
1、青蛙最后一次跳了两阶，问题变成了“跳上一个4级台阶，有多少种跳法”；
2、青蛙最后一次跳了一阶，问题变成了“跳上一个5级台阶，有多少种跳法”；
由上可得：f(6)=f(5)+f(4)；
依次类推：f(4)=f(3)+f(2);
3、从下往上分析问题，找出这些问题之间的关联（状态转移方程）
跟上面的例题1相同，可以由f(1)逐渐迭代上去，由步骤2可得，状态转移方程为：f(n)=f(n-1)+f(n-2)；
4、边界情况分析
跳一阶时，只有一种跳法，所以f(1)=1；
跳两阶时，有两种跳法，直接跳2阶，或者两次跳1阶，所以f(2)=2；
跳两阶以上可以分解成上面的情况。
5、解决问题
到这一步就可以编写代码了

public static int jump(int n) {
        //无意义的情况
        if(n <= 0){return 0;}
        if(n == 1){return 1;}
        if(n == 2){return 2;}
        //数组用于存储跳n阶的跳法数
        int[] value = new int[n + 1];
        value[0] = 0;
        value[1] = 1;
        value[2] = 2;
        for(int i = 3; i <= n; i++) {
            value[i] = value[i - 1] + value[i - 2];
        }
        return value[n];
}

最后

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