十进制

• 珠算盘就是一个十进制计数器，任何一个数都可以用0，1，2，3，4，5，6，7，8，9这10个数码中的一个或几个，按照一定的规律排列起来表示，其计数规律“逢十进一”。
• 10=1×10¹+0×10⁰，以10为基数的计数体制。
• 如4587.29可以表示为：4587.29=4×10³+5×10²+8×10¹+7×10⁰+2×10^-1+9×10^-2，其中10³、10²、10¹、10⁰分别为千位、百位、十位和各位数码的权，而小数点以右数码的权值是负幂。
• 一般地说，任意十进制数可以表示为：$$(N{)}_D=\sum _{i=-\infty }^{\infty }{K}_i\times 10^i$$
• D(Decimal)表示十进制。
• 扩展
  • 把10用R代替，可以得到任意进制数的表达式： $$(N{)}_D=\sum _{i=-\infty }^{\infty }{K}_i\times R^i$$
  • $K_i$是$i$次幂的系数，根据基数$R$的不同，它的取值为0到R-1个不同的数码。如对于十进制数，$R$为10，所以$K_i$的取值为0~9共10个数码。
• 数字电路不便于存储或处理十进制数。构成数字电路的基本思路是把电路的状态和数码对应起来。二进制只有0与1两个数码，分别用数字电路的两种状态来表示。十进制的10个数码就要求电路有10个完全不同的状态，这使得电路非常复杂。

二进制

• 二进制中，只有0与1两个数码，计数规律“逢二进一”，即1+1=10=1×2¹+0×2⁰。
• 二进制是以2为基数的计数体制。任意二进制数可表示为：$$(N{)}_B=\sum _{i=-\infty }^{\infty }{K}_i\times 2^i$$
• $K_i$为基数“2”的第$i$次幂的系数，它可以是“0”或者“1”。
• 将二进制数(1010110)_B转为十进制数：
  • (1010110)_B=1×2⁶+0×2⁵+1×2⁴+0×2³+1×2²+1×2¹+0×2⁰=(86)_D
• 优点：
  • 数字电路简单可靠，所用元件少。
  • 基本运算规则简单，运算操作方便。
• 缺点：有的数位数太多，不便于书写与阅读，使用不方便。
• 在送入计算机时，计算机先将十进制数转换成数字系统能接受的二进制数；在运算结束后，再将二进制数转换为十进制数，输出十进制结果。

二进制的四则运算

• 加法运算
  • “逢二进一”，运算规律如：0+0=0，0+1=1，1+0=1，1+1=10.
  • 当遇到“1+1”时就向相邻高位进1.
    
• 减法运算
  • “借一当二”， 运算规律如：0-0=0，1-0=1，1-1=0，10-1=1.
  • 当遇到“0-1”时，需向高位借1当2用。
    
• 乘法运算
  • “各数相乘，再作加法运算”， 运算规律如：0×0=0，1×0=0，0×1=0，1×1=1.
    
• 除法运算
  • “各数相除，再作减法运算”，运算规律如：0÷1=0， 1÷1=1.
    

二进制的波形表示

• 二值数据常用数字波形来表示，用二进制表示0~15
  
• 最左列标出二进制数的位权（2⁰、2¹、2²），最低位（Least Significant Bit, LSB），最高位（Most Significant Bit, MSB），最后一行标出等效的0~15的十进制数。

二进制数据的传输

• 二进制数据从一处传输到另一处，可以采用串行的方式或并行的方式。
• 串行方式：
  • 一组数据在时钟脉冲的控制下逐位传送。
  • 所需设备简单，只需一根导线和一共同接地端既可。
  • 两台计算机之间，或计算机通过电话线与网络连接均采用这种方式。
    
  • 在时钟脉冲的控制下，数据由最高位MSB到最低位LSB依次传输。每传送一位数需要一个时钟周期，并且在时钟脉冲的下降沿完成。
• 并行传输：
  • 传输速度快，将一组二进制数据同时传输。
  • 所需设备复杂，需要多条传输线和其他部件。
  • 并行传输在数字系统中是常用的技术。
    
  • 如图，需要8根传输线。传输8位数据所需的时间是一个时钟脉冲的周期，只有串行传输时间的1/8。

十六进制数

• 十六进制数有16个数码：0，1，2，3，4，5，6，7，8，9，A(10)，B(11)，C(12)，D(13)，E(14)，F(15)。
• 逢十六进一。
• (3A6.D)₁₆=3×16²+10×16¹+6×16⁰+13×16^-1.
• 十六进制常用字母H表示，故(3A6.D)₁₆=(3A6.D)_H。

数制转换

• 二进制转十进制

  • 将二进制数各位数码与位权相乘后求和。
  • (101.1)₂=1×2²+0×2¹+1×2⁰+1×2^-1=4+0+1+0.5=(5.5)₁₀

• 十进制转二进制

  • 采用除2取余法，即将十进制数依次除2，并依次记下余数，一直除到商数为0，最后把全部余数按相反次序排列，就能得到二进制数。
    
    

• 二进制转十六进制

  • 从小数点起向左、右按4位分组，不足4位的，整数部分可在最高位的左边加0补齐，小数点部分不足4位的，可在最低位右边加0补齐，每组以其对应的十六进制数代替，将各个十六进制数依次写出。
    
    

• 十六进制数转二进制数

  • 从左到右将待转换的十六进制数中的每个数依次用4位二进制数表示。
    

最后

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