留数定理

定理

假设是复平面上的一个单连通开子集，是复平面上有限个点，是定义在的全纯函数。如果是一条把包围起来的可求长曲线，但不经过任何一个，并且其起点与终点重合，那么：

如果γ是若尔当曲线，那么I(γ, a_k) = 1，因此：

在这里，Res(f, a_k)表示f在点a_k的留数，I(γ, a_k)表示γ关于点a_k的卷绕数。卷绕数是一个整数，它描述了曲线γ绕过点a_k的次数。如果γ依逆时针方向绕着a_k移动，卷绕数就是一个正数，如果γ根本不绕过a_k，卷绕数就是零。

例子

以下的积分

在计算柯西分布的特征函数时会出现，用初等的微积分是不可能把它计算出来的。我们把这个积分表示成一个路径积分的极限，积分路径为沿着实直线从−a到a，然后再依逆时针方向沿着以0为中心的半圆从a到−a。取a为大于1，使得虚数单位i包围在曲线里面。路径积分为：

由于e^itz是一个整函数（没有任何奇点），这个函数仅当分母z² + 1为零时才具有奇点。由于z² + 1 = (z + i)(z − i)，因此这个函数在z = i或z = −i时具有奇点。这两个点只有一个在路径所包围的区域中。

由于f(z)是

f(z)在z = i的留数是：

根据留数定理，我们有：

路径C可以分为一个“直”的部分和一个曲线弧，使得：

因此

如果t > 0，那么当半圆的半径趋于无穷大时，沿半圆路径的积分趋于零：

t > 0，那么：

类似地，如果曲线是绕过−i而不是i，那么可以证明如果t < 0，则

因此我们有：

（如果t = 0，这个积分就可以很快用初等方法算出来，它的值为π。）