概述
前言
本篇将详细讲解如何利用小根堆的方法解决TopK问题，这么多数据要处理，
该算法时间复度居然只需
TopK问题
TopK问题介绍：在N个数中找出最大的前K个 （比如在1000个数中找出最大的前10个）
解题方法
方法1：先排降序，前N个就是最大的。
时间复杂度：
方法2：N个数依次插入大堆，HeapPop K次，每次取堆顶的数据，即为前K个。
时间复杂度：
假设N非常大，N是10亿，内存中存不下这些数，它们存在文件中的。K是100，方法1 和 方法2 就都不能用了……
话说 10 亿个整数，大概占用多少空间？
1G = 1024MB
1G = 1024*1024KB
1G = 1024*1024*1024Byte
要占用10亿字节！所以我们来看看方法3。
方法3：
① 用前个K数建立一个K个数的小堆。
② 剩下的N-K个数，依次跟堆顶的数据进行比较。如果比堆顶的数据大，就替换堆顶的数据，再向下调整。
③ 最后堆里面的K个数就是最大的K个数。
时间复杂度：
这里为什么使用小堆而不使用大堆？
最大的前K个数一定会比其他数要大，只要进来的数比堆顶数据大，就替代它。因为是小堆（小的在上大的在下），最大的数进去后一定会沉到下面，所以不可能存在大的数堵在堆顶导致某个数进不去的情况，数越大沉得越深。对应地，如果使用大堆就会出现一个大数堵在堆顶，剩下的数都比这个大数小，导致其他数进不来，最后只能选出最大的那一个。
代码实现与讲解
由于还没开始讲 C++ ，这里我们没法用优先级队列，我们得手动自己写一个堆来使用。当然，如果自己懒得写，以下是 C语言 实现堆的代码。
Heap.h
#define _CRT_SECURE_NO_WARNINGS 1
#pragma once
#include <stdio.h>
#include <stdlib.h>
#include <assert.h>
#include <stdbool.h>
typedef int HPDataType;
typedef struct Heap {
HPDataType* array; //指向动态开辟的数组
int size; //有效数据的个数
int capacity; //容量空间的大小
} HP;
/* 堆的初始化 */
void HeapInit(HP* php);
/* 堆的销毁 */
void HeapDestroy(HP* php);
/* 堆的打印 */
void HeapPrint(HP* php);
/* 判断堆是否为空 */
bool HeapIfEmpty(HP* hp);
/* 堆的插入 */
void HeapPush(HP* php, HPDataType x);
/* 检查容量 */
void HeapCheckCapacity(HP* php);
/* 交换函数 */
void Swap(HPDataType* px, HPDataType* py);
/* 大根堆上调 */
void BigAdjustUp(int* arr, int child);
/* 小根堆上调 */
void SmallAdjustUp(int* arr, int child);
/* 堆的删除 */
void HeapPop(HP* php);
/* 小根堆下调*/
void SmallAdjustDown(int* arr, int n, int parent);
/* 大根堆下调 */
void BigAdjustDown(int* arr, int n, int parent);
/* 返回堆顶数据*/
HPDataType HeapTop(HP* php);
/* 统计堆的个数 */
int HeapSize(HP* php);
Heap.c
#define _CRT_SECURE_NO_WARNINGS 1
#include "Heap.h"
/* 堆的初始化 */
void HeapInit(HP* php) {
assert(php);
php->array = NULL;
php->size = php->capacity = 0;
}
/* 堆的销毁 */
void HeapDestroy(HP* php) {
assert(php);
free(php->array);
php->capacity = php->size = 0;
}
/* 堆的打印 */
void HeapPrint(HP* php) {
for (int i = 0; i < php->size; i++) {
printf("%d ", php->array[i]);
}
printf("n");
}
/* 判断堆是否为空 */
bool HeapIfEmpty(HP* php) {
assert(php);
return php->size == 0; // 如果为size为0则表示堆为空
}
/* 堆的插入 */
/* 检查容量 */
void HeapCheckCapacity(HP* php) {
if (php->size == php->capacity) {
int newCapacity = php->capacity == 0 ? 4 : (php->capacity * 2); //第一次给4，其他情况扩2倍
HPDataType* tmpArray = (HPDataType*)realloc(php->array, sizeof(HPDataType) * newCapacity); // 数组扩容
if (tmpArray == NULL) { //检查realloc
printf("realloc failed!n");
exit(EXIT_FAILURE);
}
//更新他们的大小
php->array = tmpArray;
php->capacity = newCapacity;
}
}
/* 交换函数 */
void Swap(HPDataType* px, HPDataType* py) {
HPDataType tmp = *px;
*px = *py;
*py = tmp;
}
/* 大根堆上调 */
void BigAdjustUp(int* arr, int child) {
assert(arr);
// 首先根据公式计算算出父亲的下标
int parent = (child - 1) / 2;
// 最坏情况:调到根，child=parent 当child为根节点时结束（根节点永远是0）
while (child > 0) {
if (arr[child] > arr[parent]) { // 如果孩子大于父亲（不符合堆的性质）
// 交换他们的值
Swap(&arr[child], &arr[parent]);
// 往上走
child = parent;
parent = (child - 1) / 2;
} else { // 如果孩子小于父亲（符合堆的性质）
// 跳出循环
break;
}
}
}
/* 小根堆上调 */
void SmallAdjustUp(int* arr, int child) {
assert(arr);
// 首先根据公式计算算出父亲的下标
int parent = (child - 1) / 2;
// 最坏情况:调到根，child=parent 当child为根节点时结束（根节点永远是0）
while (child > 0) {
if (arr[child] < arr[parent]) { // 如果孩子大于父亲（不符合堆的性质）
// 交换他们的值
Swap(&arr[child], &arr[parent]);
// 往上走
child = parent;
parent = (child - 1) / 2;
} else { // 如果孩子小于父亲（符合堆的性质）
// 跳出循环
break;
}
}
}
void HeapPush(HP* php, HPDataType x) {
assert(php);
// 检查是否需要扩容
HeapCheckCapacity(php);
// 插入数据
php->array[php->size] = x;
php->size++;
// 向上调整 [目标数组，调整位置的起始位置（刚插入的数据）]
SmallAdjustUp(php->array, php->size - 1);
}
/* 堆的删除 */
/* 小根堆下调*/
void SmallAdjustDown(int* arr, int n, int parent) {
int child = parent * 2 + 1; // 默认为左孩子
while (child < n) { // 叶子内
// 选出左右孩子中小的那一个
if (child + 1 < n && arr[child + 1] < arr[child]) {
child++;
}
if (arr[child] < arr[parent]) { // 如果孩子小于父亲（不符合小堆的性质）
// 交换它们的值
Swap(&arr[child], &arr[parent]);
// 往下走
parent = child;
child = parent * 2 + 1;
} else { // 如果孩子大于父亲（符合小堆的性质）
// 跳出循环
break;
}
}
}
/* 大根堆下调 */
void BigAdjustDown(int* arr, int n, int parent) {
int child = parent * 2 + 1; // 默认为左孩子
while (child < n) { // 叶子内
// 选出左右孩子中大的那一个
if (child + 1 < n && arr[child + 1] > arr[child]) {
child++;
}
if (arr[child] > arr[parent]) { // 如果孩子大于父亲（不符合大堆的性质）
// 交换它们的值
Swap(&arr[child], &arr[parent]);
// 往下走
parent = child;
child = parent * 2 + 1;
} else { // 如果孩子小于父亲（符合大堆的性质）
// 跳出循环
break;
}
}
}
void HeapPop(HP* php) {
assert(php);
assert(!HeapIfEmpty(php));
// 删除数据
Swap(&php->array[0], &php->array[php->size - 1]);
php->size--;
// 向下调整 [目标数组，数组的大小，调整位置的起始位置]
SmallAdjustDown(php->array, php->size, 0);
}
/* 返回堆顶数据 */
HPDataType HeapTop(HP* php) {
assert(php);
assert(!HeapIfEmpty(php));
return php->array[0];
}
/* 统计堆的个数 */
int HeapSize(HP* php) {
assert(php);
return php->size;
}
第三种方法的参考代码：
#define _CRT_SECURE_NO_WARNINGS 1
#include "Heap.h"
/* 在N个数中找出最大的前K个 */
void PrintTopK(int* arr, int N, int K) {
HP hp; // 创建堆
HeapInit(&hp); // 初始化堆
for (int i = 0; i < K; i++) { // Step1: 创建一个K个数的小堆
HeapPush(&hp, arr[i]);
}
for (int i = K; i < N; i++) { // Step2: 剩下的N-K个数跟堆顶的数据比较
if (arr[i] > HeapTop(&hp)) { // 如果比堆顶的数据大就替换进堆
HeapPop(&hp); // 此数确实比堆顶大，删除堆顶
HeapPush(&hp, arr[i]); // 将此数推进堆中，数越大下沉越深
/* 另一种写法: 手动替换
hp.array[0] = arr[i];
SmallAdjustDown(hp.array, hp.size, 0);
*/
}
}
HeapPrint(&hp); // 打印K个数的堆
HeapDestroy(&hp); // 销毁堆
}
/* 模拟测试 TopK */
void TestTopK() {
int N = 1000000;
int* arr = (int*)malloc(sizeof(int) * N);
srand(time(0)); // 置随机数种子
for(size_t i = 0; i < N; i++) {
// 产生随机数，每次产生的随机数都mod100w，这样产生的数一定是小于100w的
arr[i] = rand() % 1000000;
}
// 再去设置10个比100w大的数
arr[5] = 1000000 + 1;
arr[1231] = 1000000 + 2;
arr[5355] = 1000000 + 3;
arr[51] = 1000000 + 4;
arr[15] = 1000000 + 5;
arr[2335] = 1000000 + 6;
arr[9999] = 1000000 + 7;
arr[76] = 1000000 + 8;
arr[423] = 1000000 + 9;
arr[3144] = 1000000 + 10;
PrintTopK(arr, N, 10); //测试用，所以给10个
}
int main(void) {
TestTopK();
return 0;
}
运行结果
函数解读
PrintTopK 解读
① 准备好我们实现好的堆之后，我们就可以写TopK的算法了。我们创建一个 PrintTopK 函数，函数需要接收存放数据的数组、数组的大小（N）和要找前多少个（K）。
② 首先创建一个堆，用来存放K 。按照规矩我们先把 HeapInit（初始化）和 HeapDestroy（销毁）先写好，防止自己不小心忘记销毁。
③ 核心步骤1：创建一个K个数的小堆，我们直接用 for 循环将数组中前K个值先逐个 HeapPush （堆的插入）进去。
这里不代表最后的结果，我们只是相当于 "默认" 认为这前K个数是最大的，方便我们后续进行比较替代。经过 HeapPush （堆的插入）后，这些数据会通过 SmallAdjustDown （小堆下调接口） 对数据进行相应的调整：
for (int i = 0; i < K; i++) { // Step1: 创建一个K个数的小堆
HeapPush(&hp, arr[i]);
}
④ 核心步骤2：除去K，将剩下的N-K个数据进行比较。我们再利用 for 循环将数组中剩下的N-K个数据进行遍历。
这里逐个进行判断，如果该数堆顶的数据 i＜K(max)，我们就进行替换操作。调用 HeapPop（堆的删除）删除堆顶的数据，给 让位。之后将其 HeapPush （堆的插入）推到堆中，就完成了替换的工作。值得一提的是，我们还可以不调用 Pop 和 Push 这两个操作，手动进行替换。hp.array [ 0 ] 就表示栈顶，我们将 赋值给它，随后再手动进行 SmallAdjustDown （小堆下调操作），传入相应的值即可：
for (int i = K; i < N; i++) { // Step2: 剩下的N-K个数跟堆顶的数据比较
if (arr[i] > HeapTop(&hp)) { // 如果比堆顶的数据大就替换进堆
HeapPop(&hp); // 此数确实比堆顶大，删除堆顶
HeapPush(&hp, arr[i]); // 将此数推进堆中，数越大下沉越深
/* 另一种写法: 手动替换
hp.array[0] = arr[i];
SmallAdjustDown(hp.array, hp.size, 0);
*/
}
}
⑤ 当 for 遍历完所有数据之后，小堆中就保留了N个数据中最大的前K个数了。此时我们调用堆打印接口将小堆里的数据打印出来就大功告成了。
TestTopK 解读
① 这是用来测试我们写的TopK算法的函数。设置 N 的大小为 100w，动态内存开辟一块可以存下这么多数据的空间：
int N = 1000000; int* arr = (int*)malloc(sizeof(int) * N);
② 随后根据时间来置随机数种子，将每个元素都进行随机数的填充，每次产生的随机数都模上100w，这样可以保证产生的随机数一定是小于100w的。
srand(time(0));
for(size_t i = 0; i < N; i++) {
arr[i] = rand() % 1000000;
}
③ 随便写几个大于100w的数，便于测试：
// 再去设置10个比100w大的数 arr[5] = 1000000 + 1; arr[1231] = 1000000 + 2; arr[5355] = 1000000 + 3; arr[51] = 1000000 + 4; arr[15] = 1000000 + 5; arr[2335] = 1000000 + 6; arr[9999] = 1000000 + 7; arr[76] = 1000000 + 8; arr[423] = 1000000 + 9; arr[3144] = 1000000 + 10;
④ 调用我们刚才实现好的 PrintTopK 函数，递交对应的参数后就可以进行测试了。这里为了方便测试，我们的K设置为10：
PrintTopK(arr, N, 10);
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最后
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